고1 수학 질문
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[삼차방정식 x3+x2+x-3=0의 두 허근을 a,b라 할 때, (a-1)(b-1)의 값을 구하라]는 문제에서
실근은 1이고 두 허근이 a,b니까 (x-1)(x-a)(x-b)=0으로 둬서 (x-1)을 양변에서 나누고 x에 1 대입하고
전체 -1 곱하면 (a-1)(b-1)=0이니까 답이 0이라 생각했는데 틀려서 "(x-1)이 0 이여서 못나눈다는 건가?"
라고 생각이 들긴 하는데 정확히 논리적으로 왜 제 풀이가 틀린건지 설명할 수 없어서 질문드려요.
1.근과계수로 푸는 풀이는 해설을 보면 이해가 가지만 왜 제 풀이가 정확히 어디가 잘못된건지 모르겠습니다.
2.개념적으로 이전 과정에서 어떤 내용(단원)에서 누수가 생겨서 발생한 문제인지 모르겠습니다.
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(x-a)(x-b)=0 에서 x에 대입했을 때 0이 나오면
x-1을 인수로 가진다는 건데 말이 안 되죠
방정식과 항등식을 혼동해서 생긴 일
아, 전 걍 인수정리 써서 식을 조작했었는데, 두 항만 놓고 봤을 때는 어쨋든 하나는 0이 되야 식이 성립하는데 a,b가 애초에 허근이니까 (x-1)을 나눈다는거 자체가 성립하지 않는다는 의미인건가요?
윗분 글이 정확.
방정식과 항등식의 차이를 구분하지 못하셨음.
+)0으로 나누는 것도 불가능한 거임.
1. 0으로 못 나눈다는건 알고 있었는데, 그 외에 설명 해주신건 잘 이해가 안가는데 좀 더자세히 설명해주실수 있으실까요..?
2.위에 식은 방정식인데 항등식으로 봐서 생긴 문제라는 의미인걸까요?
?맞는거같은데
표현을 좀 애매하게 써서 문제되는 것 같은데
(x-1)(x-a)(x-b)=x3+x2+x-3 (항등식)
여기서 양변에 x-1나눈 식도 항등식
항등식에 x=1대입해도 맞음
이거아님?
나눈 다음에 1 대입하니까 문제인 거지
나눈 다음에는 우항에서 0이 안 나오잖음
님 댓글보면서 혼자서 계속 고민해보니까 왜 제 풀이가 잘못됬는지 이해됬습니다..! 감사합니다.
근데 제가 생각했을땐 허근의 개념을 잊고 식 조작을 하다 생긴 문제 같은데, 방정식과 항등식의 차이의 혼동에서 비롯됬다는 점이 구체적으로 어떤 내용인가요?
어떤 방정식의 해가 x=0,1이라고 생각해 봅시다.
예를 들어, x(x-1)=0
그러면 그 방정식에 x=2대입하면 식이 성립하지 않습니다.
그런데 만약 x(x-2)=(x-1)^2-1이라는 식이 있다고 하면, 이 식은 x값에 어떤 값을 대입하든 간에 성립합니다.
원글에서는 (x-a)(x-b)=0이라는 해가 a, b 뿐인 '방정식'을 마치 항등식처럼 오인하고 x=1을 대입해서 오류가 발생했습니다
대충 방향만 보고 글쓴거라 답은 맞는데 풀이가 이상하다는 줄 알았어요;; 님말이 맞네요 ㅋㅋ(pointbrake님)
x³+x²+x-3=(x-1)(x-a)(x-b)
여기까지 맞는 말
여기서 x-1로 나눌 수 있는 조건: x=/=1
그런데 무시하고 나눔
그래서 (x²+2x+3=)(x-a)(x-b) 에서 x=1일 때 0이 안 나오는 거임
항등식과 방정식은 뭔 소리냐
(x-a)(x-b)=0 이라고 두고 x=1 대입했을 때
(1-a)(1-b)일 수는 없다는 거죠
항등식처럼 x 값에 관계없이 참이라고 생각하고 그렇지 않은 방등식에 근이 아닌 x=1을 대입했으니 틀렸다는 겁니다
댓글 감사합니다. 설명해 주신 내용 정확히 이해됐네요..! 안다고 생각한 내용들인데 아직 부족한 점이
많다는걸 깨닫고 갑니다.
0으로 나누면 못씀
맞죠 분모는 0이 오면 안되니까..!