[해설] 2026학년도 수능 기하 30번

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(기호에서 아무런 언급이 없으면 벡터로 인지해주세요. AB=AB벡터)

문제에서 선분PB의 길이가 주어졌으므로 삼각형 PAB가 결정되었습니다. 초기에 문제에서 주어진 모든 조건을 최대한 반영하여 그림을 그려줍니다. 또한 수능 기하는 그림의 비율도 중요하기 때문에 대략적인 삼각형의 모양을 인지하고 그려야 합니다.

삼각형 PAB에서 피타고라스 정리에 의해 PA의 길이가 2이므로 저런 모양의 삼각형 PAB을 그려줍니다. 그 다음 주어진 수식을 해석해봅시다.

1) PA+PB

기하적으로 봤을 때, 선분AB의 중점이 원의 중심이므로 이 식은 2PO로 변형하라는 지시일 가능성이 큽니다. 또한 2PO로 변형했을 때 양변을 2로 나눌 수 있다는 것은 풀이 방향의 신뢰도를 더해줍니다.

2) PO(PQ+PB)=|PQ|²

기하적으로 봤을 때, 이 식은 변형이 어렵습니다. 따라서 대수적으로 전개하는 길을 택하겠습니다.

전개해보면 바로 값이 나올 후보로 PO‧PB가 도출됩니다. 왜냐하면 O에서 선분PB에 수선의 발을 떨구면 원의 성질에 의해 선분PB의 중점에 떨어지기 때문에 바로 값을 정할 수 있습니다. 따라서 PO‧PB의 값은 14×7입니다.

3) PO‧PQ

Q는 문제를 아무리 뒤져봐도 특정할 수 없습니다. 다만, 해당 식에서 PQ에 대한 정보만 없고 |PQ|²이랑 PQ가 있으니 |PQ|에 대한 이차방정식으로 풀어지는 방향이면 좋겠습니다. 여기에서 대수냐 기하냐 선택해야 합니다. 앞서 원 위의 점 P에 대한 내적의 연산을 원의 성질에 의하여 수행했으므로 기하로 가겠습니다. 기하로 풀기 위해서는 우선 눈에 보여야 하므로 Q를 원 위의 임의의 한 점으로 찍어줍니다. Q를 AB 위가 아닌 아래에 찍은 이유는 위에가 아래보다 복잡해서 그렇습니다. O에서 선분PQ에 수선의 발을 내리면 원의 성질에 의하여 PQ의 중점에 떨어집니다. 이 중점에서 양쪽 점까지의 거리를 각각 k라고 두면 k에 대한 이차방정식이 완성되는 모습을 확인할 수 있습니다. |PQ|를 k가 아닌 2k로 둔 이유는 계산의 편의를 위한 것입니다. 따라서 우리는 k=7을 얻을 수 있습니다.

맙소사! 그림을 완성하려고 보니 PQ의 길이가 PB의 길이와 같습니다! 이등변 삼각형 PQB가 보이니 언젠가 이용할 것 같으니 두 점 B, Q를 이어 이등변 삼격형 PQB를 완성해줍니다.

이쯤에서 문제에서 구하라고 하는게 뭔지 돌아가봅니다.

PA‧QB 라니...? 아예 관련도 없어 보이는 벡터를 내적하라는 것 같습니다. 설마 좌표로 벡터의 내적을 하라고 하는 걸까요? 그 방향도 좋지만 평가원을 믿어봅시다. 평가원은 교육과정의 근본만을 출제합니다. 그리고 벡터의 근본은 평행이동이 가능하다는 것입니다! 그러면 PA를 QB에 가까운 곳으로 평행이동 할 수 있을까요? 우리는 원 안에서 문제를 풀고 있기 때문에 원을 최대한 이용하는 겁니다. 그러면 PA를 원의 중심에 대하여 대칭이동하는 방법을 생각해볼 수 있고 그러면 QB의 끝부분에 예쁘게 맞춰지는 것을 볼 수 있습니다. 선분 PA와 평행하면서 B를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 R라 합시다. 그러면 PA=BR 입니다. 그리고 직선 PO는 BQ를 수직이등분하면서 R을 지납니다. R에서 선분 BQ에 내린 수선의 발을 R'이라고 하여 문제에서 요구하는 것을 한 문자로 정리해줍니다. 따라서 선분 BR'=h로 놓아 |PA‧QB|=|BR‧QB|=2h²으로 정리해줍니다.

우리는 이제 h만 구하면 끝납니다!