수학 고수 분들 도와주세요.(미분) 선생님들 환영
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제가 알기로는 도함수의 좌극한값과 원함수의 좌미분계수는 같지 않은걸로 알고있는데요
->
y=f'(x)에서 x의 좌극한 값은 뭡니까?
그냥 단순히 도함수 특정 지점에서의 좌극한값 아닌가요
그럼 y=f(x)에서 x에 대한 좌미분계수는
단순히 도함수 특정 지점에서의 좌극한값이 아닌가요?? (여기서 x는 특정한 x)
저도 그런줄 알았는데 오개념이였어요
저도 그런줄 알았는데 오개념이였어요
오잉??? 도함수의 좌극한 값과 원함수의 좌미분계수가 같은줄 알으셨는데 오개념이였다고요??
도함수가 연속일때만 그런데 연속인지 아닌지를 모르니까..
연속이여야하나요? 함수에서의 연속의 정의는 특정한 x에 대한 극한값과 f(x)의 값이 같을 때를 의미하는 것 이잖아요.
그럼 도함수가 불연속이여도 좌극한값만 존재한다면 문제 없는거 아닌가여....? 설명부탁드림
a에서의 미분계수를 지칭하는건 절대로 아닌데 a에서의 좌미분계수를 지칭하는건 절대로 맞죠
죄송합니다. 제가 계속 착각하고 있었습니다ㅜㅜ
도함수가 연속이라는 전제하에 'x=a에서의 도함수의 좌극한 or 우극한 = x=a에서의 도함수의 함숫값(=x=a에서의 미분계수)'라고 말할 수 있습니다.
근데 책 보면 도함수 자체가 끊어져있는데 이것도 연속이라고 볼수있나요..
그런 경우에는 다르다고 생각하면 되구요. 어쨌든간에 글에서는 현t가 도함수가 연속일 때 그렇다고 했잖아요. 어떤 게 문제죠??
x=a에서의 좌우미분계수의 값이 같을때 x=a에서 미분가능하고 f'(a)가 정의되고...
a보다 작은 실수를 c라했을때 c를 a에 무한히 가깝게 보내는걸 좌극한이라 한다면, 도함수의 좌극한은 f'(c)를 의미하지 f'(a)를 의미하진 않는거 아닌가요?
극한은 '한없이 가까워지는 상태'를 의미하지, '일치하는 상태'를 의미하는 것이 아니기에, 도함수의 좌극한과 함숫값은 별개입니다. y=lxl의 도함수를 생각해보면 됩니다.
다만 도함수가 연속이라면 연속의 정의에 의해 극한값과 함숫값(미분계수)은 같아집니다.
죄송한데 잘못봤네요 확실히 책에 도함수는 불연속이고 좌우극한이 달라요
왼쪽은 x-1그래프고 오른쪽은x+1 그래프라 보시면 될듯 가운데 함숫값정의x이고요
제가 알고 있는 내용으로는 현t가 틀리셨습니다. 도함수의 극한값도 '접선의 기울기'를 의미하기는 합니다. 그러나 중요한건 x=a 근방에 있는 임의의 점에서의 접선의 기울기(대학에서는 x가 a에 한없이 가까워진다는 것이 x가 a를 중심으로 한 어떤 아주 작은 범위안에 있다는 것이라고 배웁니다. 그래서 x가 a에 한없이 가깝다는 것은 x가 a의 근방에서 어딘가에 놓여있다는 의미입가 됩니다.)이지, 딱 그 x=a에서의 접선의 기울기는 아니라는 거죠.
저도 언뜻 해결이 된것 같은데 제가 이해한게 맞는지 확인좀 해주셨으면 합니다.
미분계수는 도함수의 함숫값이고 좌미분계수와 우미분계수가 같지않으면 미분계수도 존재하지 않고 따라서 도함수의 함숫값도 존재하지 않는다. 그러나 도함수가 연속일때 도함수의 좌극한=우극한=함숫값 이니까 도함수의 좌극한을 좌미분계수(어차피 미분계수가 존재하니 좌미분계수와 미분계수는 같음)와 같은 값으로 볼수있다.
원래는 두개가 같은게 아닌데 도함수가 연속이니까 값이 같으므로 같다고(?)봐도 된다.. 이게 맞는지요?
그리고 일반적case에서 도함수가 불연속인 경우가 그렇게 많지는 않으니까 그냥 좌미분계수= 도함수의 좌극한 이라 보고 문제 풀어도 무방할까요.. 아마 딱찝어서 묻지 않는이상(논술 같은거) 수능용으론 저렇게 알아도 될거 같은데
네 맞습니다!!
다항함수는 그냥 하시면 되고 사실 이 내용이 수능에 나올 확률은 1%도 안 될겁니다. ㅋㅋ 차라리 미분계수의 극한식이나 요상한 함수를 주고 미분가능성을 묻겠지요.
그럼 수능용으로는 도함수가 불연속이면 미분 불가능 도함수가 연속이면 미분 가능 이정도만 알고 있으면 되겠죠..?
감사합니다. 정리가 되네요..
아;;;계속 생각해보니까 내가 착각하던게 있었구나;;;
미분계수가 평균변화율을 극한보낸거잖아요
도함수는 미분계수가 x인거임 그냥
님글 읽어보고 생각해보니 저도 비슷한 생각입니다.
근데 그냥 학습qna에 질문하시는게 더 좋을듯..(그리고 결과도 좀 알려주셔요.궁금하네요)
미분계수=순간변화율=평균변화율의 극한값 (평균변화율의 좌극한값=평균변화율의 우극한값 일 경우)
미분계수의 기하학적 의미는 x=a에서의 접선의 기울기
도함수=특정한 x가 아닌 변수(일반적인) x에 대한 미분계수
도함수의 좌극한 값=미분계수의 좌극한 값=평균변화율의 좌극한 값
이 아닐...수도있나요?
해마다 나오는 떡밥인데 올해는 비교적 일찍 나왔네요.
좌미분계수, 우미분계수는 교육과정에 없는 용어지만, 편의상 많이 씁니다.
일단 미분계수의 정의 f '(a) = lim x→a { f(x)-f(a) / x-a } 에서
좌극한을 좌미분계수, 우극한을 우미분계수라 부르겠습니다.
미적분1의 경우, f(x)가 다항함수면
(좌미분계수)=(f '(x)의 좌극한), (우미분계수)=(f '(x)의 우극한)
이 항상 성립합니다.
그런데 f(x)가
x≤a일 때 f(x) = g(x), x>a일 때 f(x) = h(x)
와 같이 구간별로 다르게 정의되면 얘기가 달라지죠.
g(x), h(x)가 다항함수라 하더라도
(좌미분계수)=(f '(x)의 좌극한)이지만 (우미분계수)≠(f '(x)의 우극한)
이 되어버립니다.
함수 f(x)가 x=a에서 연속이라는 조건이 추가되어야
(우미분계수)=(f '(x)의 우극한)까지 되는 것이죠.
맨 마지막 줄에서 도함수f(x)가 x=a에서 연속이라는 조건이 아니라 함수f(x)만 연속인데
우미분계수와 f'(x)우극한이 같다는 부분이 잘 이해가 안됩니다..
댓글로는 수식 표현에 한계가 있어서
오전 중에 자세하게 설명한 글 올리겠습니다 ^^
감사합니다 글 근데 어떻게 보죠? 하루종일 컴터만 잡는게 아니라서;;
올리시면 출처좀 적어주세요 제 댓글에 ㅠㅠ
당연히 링크 달아드려야죠. 여깁니다.
http://orbi.kr/0007712404