삼차함수의 NEW 비율관계... + 평가원의 진화방향
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입시 끝나신 분들은 축하드리고요, 안 끝나신 분들도 메리크리스마스 보내시길 바랍니다. ㅎㅎ
본론으로 들어가서, 극점에서 그은 접선의 비율관계에 대해 소개해보려 합니다.
아직 강사분들이 가르치는 걸 본 적이 없는 것 같습니다만, 혹시 이미 있는 것이라면 죄송합니다.
또한 너무 당연한 것 아니냐 싶으시면, 아마 그럴 겁니다.
바로 소개해 드리겠습니다.
삼차함수에서 이 상황(대충 느낌 오시죠?)에서 (0,0)을 극점이라고 해보겠습니다. 이 점에서 그은 y=0 이외의 접선에 대해 살펴보겠습니다. 결론은 1:1의 비로 접점이 극점, 극점과 y좌표가 같은 점을 내분합니다. 근과 계수를 통한 증명도 가능하고 아래 사진과 같이 식으로도 증명이 가능합니다.
밑에 기출 보시면, 거의 상황이 그대로 나옵니다. 계산 보다는 발상이 주된 문제이지만, 그래도 계산을 유의미하게 줄일 수 있습니다.
위 문제는 교육청 기출입니다. 어려운 문제는 아니지만, 거리곱을 식을 조금 편하게 세울 수 있습니다.
밑에 문제는 19학년도 수능 나형 30번 문제입니다. (나) 조건 해석 시에 변곡접선을 고려하게 되는데, 이를 편하게 걸러 낼 수 있습니다. (제가 설명을 잘 못하는데 그래도 질문 주시면 최대한 노력해서 부족한 부분 채워나가보겠습니다.)
부가 설명을 하자면, (2,0)은 x좌표가 양수입니다. 변곡접선은 x좌표가 음수로 확정됩니다. x좌표의 부호가 변하는 경계가 변곡점보다 왼쪽에 있기 때문입니다. 처음 언급한 비율관계를 적용해 보자면, 극점이 원점이니까... x=0을 x절편으로 하는 접선은 f(x)와 -3k/4인 지점에서 만나겠네요.. (k가 위 문제의 k는 아닙니다. 너그러운 이해 부탁드립니다ㅋㅋ.)
이제 미출제 요소를 다루어 보겠습니다. 사차함수이고, 두 극소점의 y좌표가 같은 상황입니다. 극소점에서 그은 접선을 살펴보자면...(근과 계수의 관계를 사용하기 다소 버거워 식으로 풀어보면) 2:1:3 비율로 나누어 지네요? 신기하네요.
이런 상황은 어떨까요... 유일한 극소점을 다룰 때 입니다.
계산이 많이 복잡하죠? 근의 공식에 루트까지... 안 나올 것 같지만, 또 모르는 겁니다.
삼차함수의 접선, 관련 기출, 이후에 사차함수에서 나올 만한 요소들을 다루어 봤네요. 재밌게 읽으셨길 바랍니다.
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