등차수열 자작문제

Question

몇달 전에 올렸던 고2 9월 학평대비 우유 모고의 21번 문제입니다!

김주석 · Accepted Answer

세 자연수 k,p,q그리고 1≤(k≤ p < q ≤ k+3)이니
되는 (k, p, q)의 경우는 모두 
(k , k , k+1) , (k , k , k+2) , (k , k , k+3)
(k , k+1, k+2) , (k , k+1, k+3)
(k , k+2 , k+3)
그리고
a_1+a_2+...+a_(p)=a_1+a_2+...+a_(q) 
[그전에 (k≤pp 인 자연수이니
나눌 수 있다, 즉 다시 쓰면
(q)×a_{q(q+1)/2(q)}
=(q)×a_{(q+1)/2}이다.

따라서 2번째 조건을 다시 쓰면
a_1+a_2+...+a_(p)=a_1+a_2+...+a_(q) 

(p)×a_{(p+1)/2}=(q)×a_{(q+1)/2}이다.

우변을 좌변으로 옮기면

 (p)×a_{(p+1)/2} – (q)×a_{(q+1)/2} = 0

다시 등차수열 합차 공식을 이용해서
a_{ [p(p+1)/2]-[q(q+1)/2] }+(p-q-1)a_0
거기서 k≤ p < q ≤ k+3 이라고 했으니
p-q≠0 즉 (p-q)로 나눌 수 있다.

위 등식을 다시쓰면

(p-q)×a_{ (p²+p–q²–q)/2(p-q) }
=(p-q)×a_{ [(p+q)(p-q)+1(p-q)] /2(p-q) }
=(p-q)×a_{ [ (p+q+1)(p-q) ] / 2(p-q) }
=(p-q)×a_{ (p+q+1)/2 } = 0 
이다.

즉 0이되려면 (p-q)가 0이될 수 없으니,
a_{ (p+q+1)/2 } = 0이여야 된다.

3번째 조건 ,

2번째 조건에 있던 식을 모두 만족시키는 
순서쌍 (k,p,q)가 4개 이다.

에서 이거는 넣지 않아도 된다.
왜냐하면 공차[d]를 안 줘서 
6가지 모두 만족할 수 있다.


게다가 (p+q+1)/2=11이 나오면 안 된다,
즉 p+q≠21이다.
왜냐하면 같은 숫자 번째에 서로 다른 결과가 나오면 안 된다.

김주석 · Answer

4번째  조건,

가능한 k+p+q의 값들 중 가장 큰 값은 25이다.


그러면 위의 경우를 모두 고려해보면
k,p,q 모두 결국 k와 관련된 식으로 나온다.
즉, 모든 경우를 조사해보니 모두 각각 k가 하나씩 있고, 더하는 상수만 다르다
다시 말해 3k+?=25로 나온다는 것으로
즉, 3k=25-?로, 
k는 자연수이니 (25-?)가 3의 배수가 되어야 된다.
즉, ?는 1이 초항이고 공차가 3인 수들을, 또 (25-?)>0인 자연수가 나와야되니 
?의 범위는 ? < 25 인 수가 되어야 됩니다.

다시 돌아와서 3k+?=25에서 여기서 될 수 있는
 ?는 1또는 4 밖에 없다.
즉 되는 경우는 
(k, k, k+1) 와 (k, k+1, k+3)이다.

즉, (k, k, k+1)이면
k+p+q는 k+k+(k+1)=3k+1=25, 3k=24, 
k=8이다
그래서 k=8, p=8, q=9
a_{(p+q+1)/2}=0 —> a_{(8+9+1)/2}=0 —> 
a_9 =0
그리고 (k, k+1, k+3)이면
k+p+q는 k+(k+1)+(k+3)=3k+4=25, 3k=21,
k=7이다
그래서 k=7, p=8, q=10
a_{(p+q+1)/2}=0 —> a_{(8+10+1)/2}=0 —> 
a_{19/2} =0

5번째 조건은 
a_1+a_2+...+a_21=126
등차수열 합차공식을 이용해서

21×(a_11)=126
따라서
(a_11)=6이다.

이제 2가지 경우를 각각 따져보면,

1. k=8, p=8, q=9이라면

a_9=0, a_11=6인 등차수열에서 a_15의 값은

서로 다른 숫자 번째끼리 2개로 1개의 항을 구하면

a_15= —{(9-15)×6-(11-15)×0}/(11-9)=18

정답:18[4번]

2. k=7, p=8, q=10이라면
a_{19/2}=0, a_11=6인 등차수열에서 a_15의 값은 
똑같이 하면
a_15= —{[(19/2)-15]×6-(11-15)×0}/[(22/2)-(19/2)]
=22
정답:22[답에 없음]

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