관성력에 관한 사고실험

어제(25.12.18) 저녁에 깨달은 것들을 기록한 문서임

구심력이 왜 원의 중심방향을 향하는진 생략하고 설명했으니 모르면 속도변화량과 관련해서 공부를 하고 보는 것을 추천함

유익한 시간이길 바라겠음

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원판 위에서 구심력을 받는 모습이다

구심력은 물체가 원운동을 할 수 있도록 도와준다고 생각해도 좋다

예를 들면 이런 느낌

마치 인공위성이 지구를 도는 상황과도 같이, 고유의 속력으로 직선운동을 하려고 하지만, 중심으로 작용하는 힘으로 인해 다시 궤도로 떨어지는 상황과 비슷하다

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I. 구심력과 원심력

내가 원판 놀이기구의 손잡이를 잡고 돌아가고 있다고 생각해보자

다들 한 번 즈음 경험해 봤을 것 같은데, 밖으로 튕겨져 나갈 듯한 느낌을 받았을 것이다. 책에선 주로 그런 경험을 원심력으로 설명한다

이 부분에 대해 자세히 얘기해보자면,

이렇게 갑자기 손을 놓고 떨어져나가는 순간, 나에겐 구심력은 물론 그 어떤 관성력도 작용하지 않는다. 내가 V의 속력으로 직선운동할테니까 (중력을 고려하지 않았을 때)

그렇기 때문에 원운동을 하기 위해서 내가 구심력을 받도록 행동했다는 것을 알 수 있다. 원판을 잡아서 회전체의 중심으로 알짜힘이 향하도록 조정했던 것이다

즉, 매달린 행위로 인해 나에게 구심력이 작용했다고 볼 수 있다

좋다, 그러면 구심력이라는 실체가 있는 힘이 작용 중이라고 하자.

그런데 원판에 올라타 있는 내 입장에서 난 정지해 있다

그럼에도 안쪽으로 구심력을 받고 있다. 납득이 좀 어렵겠지만,

사실 당연한거다. 이건 방향을 바꾸는 가속좌표계에서의 상황이니까 관성좌표계에서만 도입가능한 가속도법칙으로 이해하긴 무리다

그러나 우리의 직관은 가속도법칙과 더 잘 맞아서 가속도법칙과 비슷한 방식으로 설명하길 원한다. 그래서 도입된 것이 관성력이다.

회전하는 이 상황에선 해당 관성력을 원심력이라고 부른다

구심력과 크기는 같지만 방향은 정반대이고 두 힘이 더해서 합력을 0으로 만들게 되는, 가상의 힘이 바로 그것이다

그래서 관성력은 실체가 없단 말이 나오게 된다

생각해보자. 원판 밖에 서 있는 관성좌표계의 제 3자가 볼 때의 나는 구심력만 받고 있다. 원운동을 하고 있으니까

그런데 회전계, 즉 가속좌표계에 있는 내 입장에서 난 정지해 있다. 세상이 돌아가고 있지. (아니, 지금 발 밑을 보면 정지해있는 상황이지 않은가, 바깥세계가 돌고 있을 뿐이니까)

그런데 구심력은 실체가 있는 힘이라고 했으니 원심력을 추가해서 합력을 0으로 만들고, 내가 멈춰있는 이 상황을 설명할 수 있게 되었다.

결론은 관성계가 성립되지 않는 상황에서조차 가속도 법칙으로 기술하고 싶었기에 도입된 힘을 관성력이라고 할 수 있다는 것이다.

여기까지가 내가 어제 고안한 구심력과 원심력의 차이를 구별하는 방법이다. 이제 3차원 공간인 지구에서 관성력이 어떻게 되는지 살펴보자

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II. 지구에 서 있는 물체가 받는 힘

시작하기 전에 미리 말하자면, II 의 설명은 물리적으로 완전히 정확하다고 할 순 없다. 이미 알려져있는 결과를 역으로 해석해서 맞음을 증명한 과정일 뿐이다. 그렇기에 상황을 이해하는 하나의 관점으로 보는 것이 타당할 것이다

세로축은 자전축이다. 23.5도 가량 세워놓은 것으로 보면 되겠다

바로 위의 그림은 표면에 서 있는 물체가 받는 힘을 나타낸 것으로, 가속좌표계에 있는 당사자가 받는다고 느끼는 힘을 표현한 것이다.

// G : 만유인력 , -F : 원심력 , F' : 표준중력 ( G + (-F) = F' )

앞에서 말했듯 당사자는 구심력의 존재를 알 수 없다, 원심력만 느낄(착각 할) 뿐. 회전하는 가속좌표계에 있는 당사자에겐 관성력이 작용해야 힘의 평형 관점에서 정지 상태가 설명된다고 했었다

그런데 앞에선 힘의 평형을 구심력과 원심력의 관계로 설명했었는데, 여기선 구심력이 보이지 않는다

그렇다면 관성좌표계의 제 3자가 상황을 지켜보면 구심력을 찾을 수 있을까?

놀랍게도 만유인력만을 알짜힘으로 받고 있다

이는 상당히 아이러니한데, 아래 그림처럼 벡터 성분 분해를 하면 이해가 가능하다

// F : 구심력 ( G = F + F' )

’구심력과 표준중력의 합‘과 ‘만유인력’이 같은 값을 가짐을 확인할 수 있다. 다시 한 번 말하지만, F와 F'의 합으로 G가 발생한 것은 아니다. 합과 같은 값으로 표현할 수 있다는 것일 뿐이다

그러니 만유인력의 구성 안에 구심력과 완벽히 동일한 성분의 힘이 내재되어 있다는 것을 알 수 있다

그렇기 때문에 또다시 관성좌표계에서 관측할 때는 원심력 같은 보정항을 추가할 필요 없이 만유인력 하나만으로 알짜힘을 설명할 수 있게 되고, 회전계에서 정지해있는 가속좌표계의 당사자는 원심력을 받는다 느낌으로써 본인의 정지 상태를 설명할 수 있는 것이다

그리고 G - F = F' 의 관점에서 상황을 바라보면,

만유인력을 이루는 두 축을 구심력과 표준중력으로 볼 수 있으므로 구심력에 쓰인 힘 외의 성분이 당사자를 땅바닥에 고정시키는 힘으로 작용했다는 사실 역시 알아낼 수 있다

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III. 표준중력이 지면에 수직하지 않다면

지금까지의 해석을 종합해서 내가 어제 깨달은 가장 중요한 사실 하나를 소개하려고 한다. 이건 1시간 동안 고심한 끝에 도달한 결론이라 매우 엄숙하게 선언하는 순간이다

당사자가 받는 실질적인 힘이 표준중력이라면, 수직항력이 그 반대만큼 작용해야 가능할 것이다. 수직항력은 그 이름에서부터 알 수 있듯이 지표면에 대해 항상 수직으로 작용하는 힘이다

그런데 앞에서 보여준 표준중력 벡터를 생각해보자

정녕 그것을 원주에 직교한다고 볼 수 있단 말인가? 그건 말도 안되는 설정이다. 지구가 회전하는 한, 표준중력은 결코 중심을 가르킬 수 없다

표준중력은 말 그대로, 지구 표면에서 받는 실질적인(유효한) 중력을 말하는 것이다. 이건 만유인력으로 인한 단독적인 힘이 아니라, 지구의 회전으로 발생하는 힘과 연계하여 고려해야 한다.

생각해보자, 우리가 물체를 자유낙하 시킬 때 그것은 항상 처음 그림자가 있던 방향 그 바로 위로 떨어져야 타당하다

그런데 표준중력이 지구 중심을 가르키지 아니한다면 물체는 제멋대로 측면으로 날아갈 것이다. 그럼에도 실세계에선 정확히 연직 아래로 낙하한다

무엇인가 이상하다

표준중력을 만유인력과 원심력의 합으로 구한 것도,

표준중력의 반대 힘인 수직항력이 지표에 수직한 것도

틀리지 않았다. 그런데 그 둘은 양립할 수 없다

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IV. 지표면을 수직하게 바꿔보면

둘을 양립시키는 방법은 딱 하나이다

표준중력에 직교하도록 모든 부분에서 지표면을 그려보자

그래, 지구가 타원체라면 이 모순이 해결된다.

정확히는 모든 지점에서 완벽히 표준중력에 수직하는 면을 갖는 타원체이다. 물론 이 그림은 과장되었다. 그래도 시각적 효과는 크다

(탭에서는 원에 가까운 타원을 그릴 수 없다)

수능특강에는 이러한 오차에 관한 설명이 상세히 적혀있지 않아서, 과정을 깊게 생각해보는 사람들에겐 큰 혼란을 야기한다. 실험을 마친 후 다시 책을 보니 타원체 라는 말이 중간에 끼여있긴 했다..

생각해보면 지구가 타원형이라는 말은 어디선가 들어본 적이 있지만, 물체가 받는 힘과 연계하여 설명을 들어본 적은 없는 것 같다

그래서 이렇게 관성력과 함께 지구가 타원형일 수 밖에 없는 이유를 설명해보는 것도 꽤 도움이 되었다

물리러라면 이 정도는 해야하지 않나

당연히 중력이상 측정에 대한 의문도 전부 사라진다. 표준중력으로 가속도를 처리하면 될테니까

비슷한 고민을 하고 있는 사람이 있을까 싶어 귀찮지만 적어봤는데, 유익했면 한다. 긴 글 읽느라 수고했다

조만간 물리학 자작 문제 20개로 돌아오겠음