합성함수의 미분가능성 질문
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f(g(x))가 x=a에서 미분가능한지 판단하려면 도함수 g'(x)f'(g(x))의 x=a에서의 좌극한과 우극한이 같은지 확인하면 된다고 하는데요, 그런데 엄밀하게는 도함수가 x=a에서 함수값이 정의되지 않을 수도 있고, 미분계수가 존재한다면 그래도 미분가능한데 존재하지 않는다면 미분 불가능하지 않나요? x=a에서 도함수의 좌극한과 우극한이 같다는 것이 x=a에서의 미분계수 값의 존재를 보장하는지 여부가 궁금합니다.
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애초에 함수값이 정의가 안 되는 곳에서 미분가능성을 논하지 않습니다
그리고 미분계수 자체가 극한이라 우극한, 좌극한의 일치가 극한값 존재를 말해주기 때문에 미분계수도 당연히 존재합니다
미분계수의 좌우극한과 도함수의 좌우극한이 같은거라는 말씀이신가요?
아니요
정의를 다시 보는 걸 추천합니다
제가 글을 좀 오해한 듯한데,
엄밀하게 따지면 도함수의 우극한 != 우미분계수라서 그렇게 말하면 안 됩니다
글 내용에서 마지막으로 하나 말하자면 “도함수가 a에서 정의되지 않는다“와 “a에서 미분계수(극한)가 정의되지 않는다“가 동치입니다
답변 감사합니다.
이분이 물어보시는건 도함수의 좌우극한이 같으면서 불연속인 함수인데, 예를 들어 매끄러운 함수에 구멍이 하나 뚫려있는거요.
이때 도함수의 극한은 존재한다고 말할 수 있음.
하지만 미분계수가 존재한다고는 말할 수 없음.
네. 제가 궁금한 것을 정확하게 말씀해주셨습니다.
이때 도함수의 우극한과 우미분계수 역시 다르고
좌극한과 좌미분계수도 달라요
가끔 헷갈리는 학생들 많은데 질문 잘하셧음
그렇다면 원래 함수가 연속함수일때 이런 도함수를 가질 수 있나요? (도함수가 x=a에서 극한값을 갖지만 원래 함수의 x=a에서 미분계수 값이 존재하지 않는)
그런건 존재하지 않음
다만 미분계수가 존재하는데 도함수의 극한은 존재하지 않는 유명한 함수는 있음
답변 감사합니다.
그래서 교재에 연속함수인지 확인하라고 써있던거군요.. 제미나이한테 물어보니 평균값정리로 설명해 주던데 이해가 된거 같습니다
정의를 그대로 받아들이시는게 제일 좋아요
미분계수의 정의에 대한 이해가 충분하면 안헷갈림
미분계수의 정의가 아닌 도함수의 극한의 일치여부로 미분 가능을 판정할 때는 그 지점에서의 연속성을 우선 체크해야 합니다.
그리고 좌, 우 미분계수와 도함수의 좌 우 극한을 보는것이 같냐라는 질문은 일반적으로는 같습니다. 물론 이 질문을 하기전에 연속성은 체크해야 합니다
예외는 x제곱×sin(1/x)과 같은 무한진동함수인데 수능수학에 출제되지는 않습니다