이거 문제 좋다

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x=y=z=0 말고 다른 해가 존재하지 않는다는 것을 보이는 과정이 재밌음

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Cangito Ergo Sum [1089852]

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박종우의 굽네치킨 · 1096659 · 25/12/12 02:25 · MS 2021

어림도없지 사걱세 자료에 3차원 공간 뭐시기로 교육과정 위배

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Cangito Ergo Sum · 1089852 · 25/12/12 02:27 · MS 2021 (수정됨)

참고로 서울 모 고등학교 내신 문제입니다 (과고 영재고 아님)
심지어 현 교육과정 문제입니다. (아마 21년도 문제일 건데..)
문제가 갠적으로 너무 맘에 들었습니다

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박종우의 굽네치킨 · 1096659 · 25/12/12 02:29 · MS 2021

f(x)= 3차, f(fx)=0 이거도 9차라고 교육과정 위배라 하는데;; ㄹㅇ 평가원에 나오면 저럴듯...

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Cangito Ergo Sum · 1089852 · 25/12/12 02:53 · MS 2021

최소한 이 문제는 ^^내신^^ 문제이니 사걱세가 막 욕하진 않겠죠

근데 내신 문제긴 하지만 갠적으로 좋았어요.

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998001 · 1425803 · 25/12/12 02:32 · MS 2025

자명한 해 말고 x, y, z중 하나 이상이 0이면 안되는건 자명하니 셋 다 양수라고 가정
(음수인 경우엔 2xyz > 0이 되어야 하므로 두개가 음수여야 하는데, 이는 양수 뒤집는 것과 같으므로 WLOG, 양수만 고려 가능)
산술기하평균
x^2+y^2+z^2 >= 3(xyz)^(3/2) >= 3xyz > 2xyz (모순)

맞나요

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Cangito Ergo Sum · 1089852 · 25/12/12 02:51 · MS 2021

3/2승이 아니고 2/3승일 겁니다. 세 개짜리이니 cubic root가 씌워져 있어야죠.
그렇게 되면 저 방법으로는 일단 불가능해 보입니다.

저는 홀짝성으로 풀었어요. 자명하지 않은 정수해가 존재한다고 가정하고, 우변은 무조건 짝수이니 좌변도 짝수여야 하는데, 홀수가 없거나 2개 있는 경우만 가능하죠.
근데 어떤 정수든 제곱하여 4로 나누면 나머지가 0 또는 1이잖아요. 따라서 모두 짝수여야만 가능합니당

x=2^k(p), y=2^k(q), z=2^k(r)라 할게요. (k는 자연수이고, p, q, r 중 홀수가 존재한다고 할게요. p, q, r이 모두 짝수라면 k에 1을 계속 더해서 p, q, r 중 홀수가 존재하도록 만들게요.)
대입하여 정리하면, p^2+q^2+r^2=2^(k+1) (pqr)인데, x, y, z가 모두 짝수라는 것을 증명할 때와 마찬가지 방법으로 p, q, r이 모두 짝수라는 가정에 모순.
따라서 비자명한 정수해는 존재 안 함.

자명한 정수해인 x=y=z=0만 존재.

전 이렇게 풀었습니다

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998001 · 1425803 · 25/12/12 02:54 · MS 2025

오

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Cangito Ergo Sum · 1089852 · 25/12/12 02:55 · MS 2021

일단 아는 것을 적용시켜보려는 님도 대단합니다.
애초에 이런 정수론 문제가 많이 안 나와줘서 아쉽긴 한데
산술기하 평균 쓰는 문제도 좀 나오면 좋을 거 같아요

그 역수의 합이 분수가 되는 문제도 갠적으론 좋아합니다.

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Cangito Ergo Sum · 1089852 · 25/12/13 10:20 · MS 2021

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