미분법과 관련된 간단한 질문이 하나 있습니다

Question

f(x) =  x ²sin1/x    (x≠0)
           0                (x=0)


x가 0이 아닐때는 f(x)가 x^2sin1/x 인 것이고
x가 0일 때는 f(x)가 0입니다

x가 0이 아닐때의 식을
단순히 미분법의 공식으로 풀면

f ' (x)=2xsin1/x-con1/x
이렇게 나오므로 f ' (0)은 cos1/x 때문에 어떤 값이 나올지 알수 없습니다

그런데 미분의 정의를 이용하여 풀면,
즉 lim f(x) - f(0) / x  
      (x→0)

위와같이 극한을 이용하여
f ' (0)을 구해보면 f ' (0)=0 이라고 나와버립니다

제가 어떤 부분에서 실수를 한건지 잘 모르겠습니다

혹시나 해서 lim f(x+h) - f(x) / h 를 이용해서
아예 f ' (x)를 구해봤더니
2xsin1/x 가 나옵니다

할때마다 값이 달라져서 미치겠습니다
어떻게 풀어야하나요?

Xavi · Accepted Answer

에프프라임 영 존재하는거 맞습니다.
도함수도 제대로 구하셨고요.
다만 x=0일 때는 위에 있는 방식대로 미분을 할수는 없는거고, 정의를 이용해서 미분하면 에프프라임 영은 영 맞습니다.
그런데 에프프라임엑스가 영으로 수렴할때 함숫값은 0으로 수렴하지 않죠.

이 함수는 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수의 사례로 자주 언급되니...꼭 알아두세요 ㅋㅋㅋ

스트라디바리우스 · Answer

윗분이 잘 설명해주셨군요.
x=0일때는 애초에 f(x)가 다르게 정의된다는점이 문제겠죠.

쓸데없을지도 모르는 사족을 하나 달죠.
f(x)를 다음과 같이 정의합시다.
f(x)=x(x≠0), 2sin x(x=0)(사실 이 함수는 f(x)=x라서 임의의 실수a에 대해  f'(a)=1입니다)
이제 이 함수를 미분해봅시다
f'(x)=1(x≠0), 2cosx(x=0)
이제 f'(0)을 구해보면,
f'(0)=2cos0=2?

미분은 해당점 자기자신과 주변의 점이 모두 필요합니다.
글쓴이분의 실수는 0 '주변의 점'으로 미분을 하려고 했던거고
사족댓글의 실수는 0 주변의 점을 무시하고, 단순히 x=0이라는 한 점에서 미분을 시도하려 한 데에 있습니다.

미분법과 관련된 간단한 질문이 하나 있습니다

최근 게시글 · 더보기

공부를 도와주는 학습자료