Team Ventures - 강력한 기본기이지만 가르쳐보면 잘 모르는거

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솔직히 말해서 저는 호형훈제 빠돌이인데요,

몇 년 전에 호훈수업에서만 들을 수 있었던 정리들이

요즘은 다른 수업에서도 마구마구 카피되며 배포되고 있는 것을 보면서 뿌듯함을 느끼고 있습니다.

수업에서 알려주시는 테크닉들이 상당히 많은 편이지만,

그 중에서도 기본기로 알려주시는 조력자이론을 아주 좋아합니다.

1) 곱함수에서의 극한의 존재성

2) 곱합수에서의 연속성

3) 곱합수에서의 미분가능성

3가지를 암산해버릴 수 있게 만들어주시기 때문...

뭐 중위권 이상은 이미 하고 있을거라 안 읽으셔도 됩니다.

* 함수의 x=a에서의 단계와 조력자이론

주어진 정보를 바탕으로, 함수 f(x)가 특정 지점 x=a에서 가지는 연속성과 미분가능성의 단계와, 이러한 단계를 상위 단계로 '도약'시키기 위해 곱해지는 조력자 함수 g(x)가 x=a에서 가져야 하는 영인자(Zero Factor)의 개수에 대한 이론

조력자 함수 g(x)는 x=a에서 영인자를 n개 가진다고 할 때, 이를 g(x)=(x−a)n⋅h(x) (h(a)=/0, h(x)는 x=a 근방에서 연속)로 표현할 수 있으며, 이 n의 개수가 핵심입니다.

영인자가 꼭 다항인수의 꼴을 취하지 않아도 됩니다.

? x=a에서의 함수 f(x)의 단계 정의

단계	특성 (함수 f(x))	수학적 조건 (x=a에서)
0단계	극한값이 존재하지 않음 (발산)	limx→a+f(x) 또는 limx→a−f(x) 중 적어도 하나가 존재하지 않음 (발산)
1단계	극한값은 존재하지 않음 (좌극한 = 우극한)	limx→a+f(x)=limx→a−f(x) (두 값 모두 수렴)
2단계	극한값은 존재하나 불연속	lim_{x to a} f(x)는 존재하나 f(a)와 다르거나 f(a)가 정의되지 않음
3단계	연속이나 미분 불가능	limx→af(x)=f(a) 이지만 f'(a)는 존재하지 않음
4단계	미분 가능	f'(a)가 존재함 (연속 조건 포함)

조력자 함수 g(x)를 이용한 단계 도약 이론

함수 f(x)에 조력자 함수 g(x)를 곱하여 새로운 함수 F(x) = f(x)g(x)를 만들었을 때, F(x)의 단계가 f(x)의 원래 단계보다 상승하는 조건입니다. n은 조력자 함수 g(x)가 x=a에서 가지는 영인자의 개수입니다.

f(x)의 원래 단계	도약 조건 (영인자 n의 개수)	도약 후 F(x)=f(x)g(x)의 단계
0단계	직접 곱해보며 확인	1, 2, 3, 또는 4단계로 도약
1단계	n=1	3단계 (연속이나 미분 불가능)
	n≥2	4단계 (미분 가능)
2단계	n≥1	4단계 (미분 가능)
3단계	이미 3단계 이상	도약 (4단계로)
4단계	이미 4단계	도약 없음

? 참고:
0단계의 경우, 발산의 양상(예: x−a1, ln∣x−a∣ 등)이 매우 다양하므로, 영인자의 개수 n이 일률적인 규칙을 갖기 어려워 직접 계산을 통해 도약 여부를 확인해야 합니다.
단계가 올라갈수록, 함수는 x=a 근방에서 더 부드러운(Smooth) 형태를 가지게 되며, 이는 조력자 함수 g(x)의 **영인자 개수 (n)**가 증가함에 따라 x=a에서 더 급격하게 0으로 수렴하여 f(x)의 불연속/미분 불가능 요소를 상쇄하기 때문입니다.