연립이 안 될 땐, 모양이라도 맞춰 보자 #261122
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안녕하세요. 케이스 분류를 이 세상에서 제~일 싫어하는 슬기조아입니다. \(^0^)/ -- ☆
오늘은 케이스 분류를 안 할 거에요 ㅎ_ㅎ
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바로 문제를 보겠습니다.
일단 문제는 이렇게 생겼고요.
그러면 바로 조건 해석부터 해보겠습니다.
로그함수와 지수함수가 함께 등장했지만, 밑이 다르기 때문에 둘 사이를 평행/대칭이동 관계로 해석해볼 수는 없겠네요.
점 A, 점 B, 그리고 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점을 점 A' 라고 부르도록 하겠습니다.
세 점은 모두 제1사분면에 위치하겠군요.
중점 좌표가 좀 흉측하긴 하지만 일단 뭐.. 알겠습니다.
일단 점 A에서 위를 도출할 수 있습니다.
원점 O, 점 A', 점 B가 모두 일직선상의 점이므로, 점 A'와 점 B의 x좌표, y좌표는 비례합니다.
비례상수 k를 도입하여 점 B의 좌표를, 문제에서 제시된 두 미지수 a와 b에 대해 표현해줍니다.
그리고 나서 곡선의 방정식에 대입해보면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
이제 식을 좀 정리해보죠.
두 식을 가지고 소거를 하든 연립을 하든 뭘 하려면, 두 식을 최대한 유사한 형태로 만들어주어야 합니다.
저 주황색 식에서 이제 이항만 좀 시키면 얼추 비슷해지겠는데요?
오른쪽에 적힌 두 식과 같이 정리해볼 수 있습니다.
이제 정말 두 식의 모양이 상당히 비슷해졌네요.
윗줄의 식에서 2를, 아랫줄의 식에서 k를 각각, x라는 변수로 대체한다면,
두 식은 하나의 방정식에다가 2와 k를 각각 대입한 식으로 해석할 수 있습니다.
이렇게 말이죠.
시간이 촉박할 때면, 이대로 k=2 특정 후 풀이 진행하셔도 되겠습니다만,
"k값이 k=2 하나만 존재한다는 걸 어떻게 알 수 있을까?"라는 의문이 들 수도 있겠죠.
안 그러면 문제 답이 여러 개 나올 테니까요.
그러면 이를 알아보기 위해, 좌변과 우변을 각각 그래프 위에 그려보겠습니다.
좌변의 경우, b>0이므로 증가하는 지수함수이며, 점 (0,1)을 항상 지나고, 점근선은 x축이 되겠습니다.
우변의 경우, a>0이므로 기울기가 양수인 일차함수이며, 점 (0,2)를 항상 지나는 직선의 개형을 보이겠습니다.
x가 양의 무한대로 갈 때, 지수함수가 더 빠르게 증가하므로, 좌변과 우변의 곡선은 x>0에서 교점을 한 개 가지겠습니다.
x<0에서는, 우변의 일차함수가 좌변의 지수함수의 점근선을 통과하므로, 결국 x<0에서도 교점을 한 개 가지겠습니다.
x>0 에서의 교점은 2라는 것을 알 수 있으며,
x<0 에서의 교점은 x_0으로 두겠습니다.
이 때, k값은 곧, 두 교점의 x좌표를 의미하므로, 저 두 값들 중 하나가 k값에 해당합니다.
k가 음수라면, 점 B는 x좌표와 y좌표 모두 음수가 되어, 제3사분면 위의 점이 되겠죠?
그러므로 k는 양수이며, 따라서 k=2임을 알 수 있습니다.
그리고 위에서 설정한 음수 x_0의 경우, 그 값을 구할 필요가 없겠습니다.
k=2를 통해 점 B의 좌표를 작성한 후, 주어진 중점 좌표를 통해 두 미지수 a와 b를 구하시면 되겠습니다.
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