부엉 모의고사 3회 후기 (샤따 내려 !!!)

안녕하세요 !!! 동글동글 알감자입니다

오늘은 부엉 모의고사 3회 후기글로 찾아 왔습니다

쉬운 1페이지 to 3페이지는 앞선 후기글들과 마찬가지로 스킵하고 11번부터 자세한 이야기 나눠 보도록 하겠습니다

#11

오늘 아침밥을 안 먹었더니 뇌에 연료가 부족했는지 계속 g(t) 의 상수항을 +1 로 읽어서 의외로 시간이 걸린 문제…

이렇게 밥심을 증명하게 되네요

다들 수능장에서 힘들다고 점심 한 술 뜨고 숟가락 내려놓지 마시고 꼭꼭 2/3 정도는 드시길 바랍니다

생각보다 탐구 시간에 체력이 많이 떨어져요

#12

절댓값이 들어갔다는 점과 (가) 조건의 해석 이슈로 난이도가 높은 문제였던 것 같아요

절대적으로 어렵다는 건 아니고 12번이라는 위치를 고려했을 때 어려운 편이라는 말입니다 (만약 수능에 출제되었다면 학생들이 첫번째로 턱 걸린 문제가 아니었을까)

(가) 조건을 보고 a₃*a₅ 를 제외한 모든 a_n*a_n+2 는 0보다 크거나 같다는 것을 파악해야 합니다

그럼 an*an+2 의 부호가 달라지는 포인트는 결국 a₂*a₄, a₄*a₆ 인데, 단연 둘 다 공통 인수 a₄ 가 있다는 점이 눈에 띄죠

현장이라면 이 점만으로도 a₄가 0일거라고 가정하고 풀어도 됩니다

하지만 지금은 아직 공부하는 단계기 때문에 엄밀히 따지면…

우선 a₃ 과 a₅ 의 곱이 음수이기 때문에 둘 사이에 0인 지점이 있어야 한다는 것을 알 수 있고 (+ a₃ < 0, a₅ > 0 임, 공차가 양수이기 때문)

나아가 a₂ < 0, a₆ > 0 라는 것도 알 수 있는데 이 둘에 a₄ 라는 공통값을 곱해서 (가) 조건을 성립하게 하려면 a₄ 가 필연적으로 0 일 수 밖에 없다는 사실을 알 수 있습니다

그 후엔 (나) 조건을 활용해서 공차를 구하면 됩니다

#13

a, b 두 미지수의 값을 구하기 위해서는 두 개의 조건식이 필요합니다

가장 먼저 눈에 띄는 건 문제를 읽기도 전에 시선을 강탈하는 시험지에 그려준 그래프 위 한 점의 좌표입니다

이게 첫번째 조건식이고, 두번째 조건식은 f(x)-(-2x+5) 를 0 에서 3 까지 적분했을 때 0이라는 조건을 통해 세울 수 있습니다

그 후엔 연립 방정식을 세워 a 와 b 를 구하면 끝

#14

계산량이 좀 많은 편입니다

하지만 부엉 모고 5회 14번처럼 계산해서 될까…? 하는 느낌이 아니고 계산하면 나올 거 아는데 하기 싫은 느낌…

이 문제의 킥은 평행한 두 직선 사이에 밑변의 길이가 같은 두 삼각형은 넓이가 같다는 것, 이지 않았을까 싶네요

중학교 때 많이 풀던 그 감성입니다

#15 (어제 한 오르비언의 질문글 때문에 스포 당함)

네… 스포 당해서 빨리 풀었습니다

그래서 어제 처음 이 문제를 봤을 때의 감상과 풀이를 적어 보도록 하겠습니다

우선 처음 이 문제를 봤을 때의 감상은… 시대인재나 강대 모고 문제 이런 건가…? (본인이 그런 걸 풀어 본 적 없어서 일 수도 있음)

한 마디로 고퀄리티의 난이도 있는 문제다, 라는 말입니다

보자마자 23년 (?) 수능 22번을 업그레이드 시킨 문제라는 생각이 들었습니다

g(x) 가 연속 함수라면 좌미분 계수와 우미분 계수의 곱이 0보다 작다는 말이 극값에 대한 조건이 되기 때문에 바로 휘리릭 풀 수 있지만 여기에서는 g(x) 가 연속 함수라는 것을 보장할 수 없습니다 (사실상 연속이 아닐 가능성이 더 큼)

그래서 (나) 조건을 먼저 사용해보기로 했습니다

딱 보니 t 를 -1 로 보내는 조건이 (가) 와 겹치는 것이 뭔가 특이점이라는 느낌이 옵니다

그래서 가장 일반적인 삼차 함수를 그리고 기울기가 -1 인 직선을 그리려는데… 그 직선을 어디에 어떻게 그릴지가 문제죠

처음에는 f’(0)=0 이고 g(-1)=0 인 것 아닐까 했는데…

대놓고 문제 말미에 f’(0) > 0 이 있음 !!!

그래서 살짝 당황했는데 그럼 그 다음으로 가정할 수 있는 상황은 g(t) 의 -1에서의 좌극한이 0인 상황입니다

만약 이 가정이 성립한다면 (가) 조건을 성립하기 위해서 f’(g(t)) 의 -1에서의 우극한이 0보다 작거나 같아야 하고요

그럼 -1에서 g(t) 는 확실히 불연속이어야 합니다

불연속이 되려면 관통하는 경우 (서로 다른 세 실근이 생기는 경우) 를 그리면 안 되죠

삼차함수와 직선이 0보다 큰 어떤 x 좌표에서 접해야 합니다

그래서 적절한 위치에 0을 잡고 접선을 그려준 뒤, -14/15x 를 그려보면 이건 필연적으로 3개의 점을 관통하는 직선이 될 수 밖에 없습니다

관통하는 직선이기 때문에 t=-14/15 에서 g(x) 는 연속이고요

이때 제가 이 문제의 풀이 처음에 말했던 극값의 개념을 끌어다 쓸 수 있죠 (연속이니까)

f’(g(t)) 의 값이 0이어야 하기 때문에 -14/15 는 (0, f(0)) 과 극소를 지나는 직선이 되어야 합니다

여기까지 발상했다면 그 후에는 계산으로 마무리 !!!

+그래프를 면밀하게 관찰해야 한다는 점에서 마음에 들었던 문제

16번에서 20번까지 쉽습니다

#21

문제 자체는 난이도가 높지 않지만 개인적으로 재미있었던 문제

우선 우변이 6차 함수 이기 때문에 좌변도 6차여야 합니다

즉, g(x) 는 4차 함수죠

그리고 밑에 집합 기호로 주어진 조건을 보면 확실하게 g(2)=0, g(4)=0 임을 알 수 있습니다

추가적으로 4차 함수인 g(x) 에 근이 있을 수 있지만, 2와 4 사이에 존재할 것이고, 존재한다면 중근의 형태로 나타나게 될 것이고요

따라서 x=0, x=2, x=4 를 경계로 x²-4x 와 g(x) 의 부호를 판별해 쓸 수 있습니다

g(x) 에 대해 명확히 알지 못하기 때문에 6차 함수의 대략적 개형을 그리긴 어렵지만, 구간별로 음인지 양인지를 구분할 수는 있고

그럼 x=0, x=2, x=4 를 경계로 나눈 4개의 구간이 각각 양, 음, 양, 양 이 됩니다

따라서 우변을 f(x) 와 f(x)-1 의 곱으로 바꿀 수 있는데 이때 두 함수의 부호가 반대인 곳은 0<x<2 뿐 !!!

또 앞서 판단한 좌변의 근으로 미루어 봤을 때 x, x-2, (x-4)² 을 우변도 갖고 있어야 합니다

가장 기본적인 3차 함수의 개형을 그렸을 때 x 축에 나란한 두 직선과의 교점을 3개 (4에서는 중근이므로) 갖기 위해서는

각 직선과 1개, 2개(그 중 하나는 중근)의 근을 가져야 합니다

이미 근의 x 좌표가 주어진 상태라서 쉽게 조건에 만족하는 두 직선을 그을 수 있죠

여기까지 발상했다면 계산으로 마무리하면 됩니다

+ 첨언하자면 저는 처음 풀 때 2와 4 사이에 또 다른 중근이 있을 거라고 생각하고 풀었음…

하지만 ‘두 함수의 부호가 반대인 곳은 0<x<2 뿐’ 이라는 사실 때문에 모순이 발생함…

#22

지수로그함수 대비용으로 아주 좋은 문제입니다

아마 실제 수능에 출제되었다면 오답률 탑 3 아니었을까… (당연한 소리를 이렇게나 대단하게…)

우선 A, B 를 잡는 것까지는 무리가 없지만 C를 잡을 때 불편한 사람들이 많았을 것 같아요

C를 어디쯤에 그려야 하나… 하는 생각도 들었을 것 같고 어찌저찌 그리고 나서도 보면 A,B,C,D 가 다 따로 노는 기분…

그래서 저는 평행 이동시켜서 C를 B에 갖다 붙였습니다 (짜증나서 그랬는데 출제 의도가 그거였음…)

왜냐하면 지금 명확한 수치로 관계가 정의된 게 B, C 좌표 관계 뿐이라 이걸 적극 활용해야 하거든요

그래서 평행 이동시키면 D도 따라서 움직이게 되는데 사실 그림 그리다 보니 감으로 A 와 D 의 y 좌표가 같을 것 같다는 생각이 들긴 했어요

그런데 이 문제를 풀 당시 나머지 문제를 다 푼 상태로 시간도 좀 낭낭하게 남았길래 제대로 분석해서 풀었습니다

우선 평행 이동을 시키고 나면 직선도, 지수 함수도 어떤 x=q (q는 임의의 상수) 에 대해 대칭 꼴이라는 게 눈으로 보입니다

정확히는 x=-logk/2log3 에 대해서 대칭이죠 (이 부분이 포인트)

따라서 A와 D 가 데칼코마니처럼 딱 대칭관계일 수 밖에 없습니다

이 사실을 파악하고 나면 답은 금방 나옵니다

23번에서 26번까지도 쉬움

#27

코멘트를 할까 말까 고민했는데 27번 치고 조금 어려운 편이기도 하고 좋은 문제라서 코멘트 남깁니다

미분을 치지 않아도 그릴 수 있는 수준의 간단한 그래프 개형이라 전 우선 그리고 시작했어요

이 함수는 x=k/2 에 대해서 대칭인 (동시에 이 지점에서 극값을 가짐) 함수고, 따라서 알파와 베타도 x=k/2 에 대해서 대칭임

이 점을 활용해서 x 를 적절히 치환해서 적분해 풀어도 좋음 (개인적으로 이렇게 하면 숫자가 훨 깔끔한 느낌 !!! 0부터 베타-k/2 까지 한 번만 적분하면 되니까…)

하지만 당연히 27번이기 때문에 이런 관계성 파악 안 하고 계산해도 답 나옴

#28

사인, 코사인은 워낙 적분을 많이 하기 때문에 단위 넓이 마냥 0부터 파이까지 적분한 값이 2라는 것을 알고 있고, 주기와 최대 최소에 따라서 2에 적절한 수를 곱해주면 된다는 것을 있어서 계산 할 것도 딱히 없었습니다

적분한 함수의 개형은 그냥 일정한 개형 (약간 삼차함수 같이 생긴 모양) 이 주기적으로 반복되며 증감하는 그래프일텐데 그럼 극값의 관계도 등차 수열로 발생하게 됩니다

이를 활용해서 숫자를 잘 조합하면 b 가 구해지고 그럼 이제 a가 문제인데 좌측에서 만약 감소 함수가 그려진다면 (전체적 적분 함수의 개형이 V 모양이라면) 근이 3개, 4개 나오는 경우가 발생합니다

따라서 거시적으로는 증가함수의 꼴을 유지해야 하고, n=1 일 때 부족한 한 교점의 개수를 극값이 메워줘야 한다는 점만 파악하면 a도 구할 수 있습니다

#29

저는 원래 이 유형에 강한 편이라 (현재까지 대부분의 모의고사에서 이 유형은 3분 컷) 이 문제도 빠르게 풀었습니다

사실 이 유형에 적용되는 개념은 매우 매우 간단하고 (급수의 일반항이 0으로 수렴하는가? 이 개념의 확장) 결국 계산 문제인데 이 부분은 약간 정수론의 느낌이 있어서 많이 풀면 가장 빠르게 감이 올라오는 유형 아닐까 싶어요

정석 풀이는 해설지에 있으니 실제 제 사고 과정을 그대로 적어보도록 하겠습니다

첫 조건을 보면 a_n 과 b_n 중 하나만 공비가 음수인 상황입니다

두번째 조건을 보면 a_n 의 공비가 음수 같습니다 (절댓값이 씌워진 의도가 절댓값 a_n/a_n 의 값이 -1 과 1 로 진동하는 꼴로 만들기 위함 같음) 

그럼 a_n 의 공비가 음수라고 가정하고, 두번째 조건의 급수의 일반항이 0에 수렴하는가를 살펴야 할 것 같습니다

핑퐁 핑퐁 하는 녀석이 있다면 제거해야 합니다

이 녀석을 제거하기 위해서는 -b_n*b_n/a_n 혹은 4b_n/a_n 이 절댓값 a_n/a_n 과 같아야 하고, 그 말인 즉 절댓값 a_n 이 -b_n*b_n, 혹은 4bn 이어야 합니다

하지만 우선 절댓값을 씌우는 순간 0보다 크거나 같아지기 때문에, -b_n*b_n 과 같을 확률 제로입니다

b_n*b_n 자체가 제곱값이기 때문에 양수인데 – 가 붙었으니 음수잖아요

그럼 절댓값 a_n 과 -4b_n 이 같다는 결론이 나오고, a_n 과 b_n 의 공비는 부호만 다를 뿐 절댓값이 같고, 초항은 절댓값 a_n 이 b_n 의 4배로, b_n 의 초항이 음수라는 사실이 나오니 초반에 식을 쓰면서 만들어낸 그 많은 미지수를 팍팍 줄여 계산해주면 끝납니다

#30

음함수의 미분 문항인데 함수가 복잡하지도 않고 계산도 깔끔해서 상수 변수 구분 잘 해서 풀면 됩니다

전반적으로 3회가 4회보다 어렵고, 5회보단 약간 쉬운 느낌이었습니다

문항 자체는 가장 마음에 들었던 회차고요 (기억의 왜곡일 수 있음… 엄마가 엄마가 좋아 아빠가 좋아 하면 엄마고 아빠가 엄마가 좋아 아빠가 좋아 하면 아빠인 맥락)

이상 이런 좋은 퀄리티의 모의고사를 무료 배포해주신 Team SUDO 에 감사의 말씀드리며

부엉 모의고사 4회 후기글을 마치도록 하겠습니다