이해원 합성함수 해석 질문 받아주세요

Question

올해 9모 28번인데 x-tanx의 그래프만 해석했을 때 변곡점이 x=파이에 나타는걸 확인할 수 있기 때문에 g(x)가

합성된 g(x)-tang(x)도 x=파이에 변곡점이 나타나므로 문제에서 주어진 f’’(파이)=0은 과조건이다. 라고 하는데

x^3 에 x^2을 합성한 경우에는 x=0에서의 변곡점이 없어지는데 이 문제에서는 어떻게 합성함수에도 변곡점이 유지

될 것이라고 확정한건가요?

공부하다잠들다 · Accepted Answer

x^2이 극값 부분이 합성돼서 그럼

ㄱㅋㄱㅅㅂㅊ · Answer

님 논리도 맞는데 f가 삼차함수임이 전제돼있어서 그런 거 같아요. 삼차함수면 무조건 양의 무한대, 음의 무한대로 발산하는 부분이 있어야되고, 그러려면 g가 님 말씀대로 찍고 돌아온다 하더라도 양의 무한대를 만들어내기 위해 어느 순간엔 겉함수의 변곡점을 뚫고 지나가는 부분이 있어야되는 거죠. 그래서 무조건 3차가 만들어질 수밖에 없어요.

욱지로 · Answer

저도 저거 이해원 책 보면서 공부하는 입장으로써 정확히 답변해드릴 수 있습니다.

해원이 형님께서 차수논리는 직관적 해석이지 엄밀한 것은 아니며 글쓴이 님이 제시하셨던 반례 말고도 교재에 lxlx , x^5/3 등 해원이 형님께서도 차수논리가 안통하는 예시를 제시해주시고 계십니다.

그리하야 저 상황에서는 무조건 차수논리가 가능한 문제겠다라고 판단이 서야하는데 

해원이 형님께서 말하길

1. f(x) 는 3차 함수이므로 차수를 1차 2차(극점)3차(변곡점)을 가집니다

2. x-tanx를 미분해보시면 sec^2x ==> x=파이의 정수배인 곳에서 2차( 미분함수의 2차는 일차함수의 변곡점)을 가지고 있습니다. 고로 x-tanx는 x=n파이(n은정수) 인 곳에서 3차 그 외에서는 1차 2차를 가지게 됩니다


3. 여기서 g(x)가 ((x^3 에 x^2을 합성한 예시처럼))차수를 1,2개를 가지게 된다면 
x-tanx의 차수 1차 2차 3차에 곱하기 1아니면 2를 곱해 g(x)-tang(x)의 차수가 1,2,3,4,5,6이므로 6차함수의 개형이 나오게 됩니다. ==>고로 문제에서 제시한 삼차함수이다!라는 조건에 위배가 됩니다

4. 그래서 문제조건에 의해 g(x)는 무조건 1차의 차수만을 가지게 됩니다 ==>극값 (x) 

여기까지가 해원형님의 견해입니다. 이해가 안되는 부분이 있으시다면 제가 정확히 알고 있기에 답변 해드릴 수 있습니다

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