[미적분 칼럼] 직접 떠먹여주는 수학 가형 30번 해설
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안녕하세요 Apocalypse II 입니다.
오늘은 2020학년도 9월 가형 30번을
풀기 위한 발상을 정리해보도록 하겠습니다.
(정답률이 4%라고는 하는데 의외로
마지막에는 허무하게 끝납니다.
30번인게 약간 의심될 정도로요.)
우선 간단하게 상황부터 살펴볼까요?
⇒ 모든 실수 x에 대하여 저 식이 만족?
일단 문제에서 항등식이 주어졌으니
문풀에 필요하다고 판단되는 여러 정보를
적절한 대입으로 구할 수 있겠군요.
(필요하다면 항등식을 미분,적분해볼 수도 있고)
(여기선 적분이 필요하지만)
[발상정리] ⇒ 부정적분이 가능한 꼴로 항등식 조작하기
문제를 풀기 전에 다음 사항들을 고려해보십쇼.
------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐------------
[①내가 현재 구해야 하는 답이 무엇인가?]
⇒ 나는 현재 f(7)의 값을 구해야 한다.
------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------
[②이를 구하려면 어떤 방법을 시도해야할까?]
⇒ 항등식에 f(7)의 값이 따로 포함되지 않은 것을 보아
f(x) 그 자체의 함수식을 구해서 x=7을 대입하기 ••• (방법1)
(OR)
f(x)를 겉함수로 둔 합성함수를 구한 뒤
속함수 값을 7로 만드는 x값 대입하기 ••• (방법2)
둘 중 문제풀이에 더 적합한 방식을 선택한다면
최종적으로 f(7)의 값을 얻을 수 있겠네요.
이 문제에선 방법2가 더 적절할 것 같습니다. ⇒ 좌변의 f'(x²+x+1)처럼 합성함수가 주어졌기 때문
------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------------‐---------------------‐-----------
일단 우변에는 f의 함숫값만 있고 f가 될 가능성이 있는 함수는 없고
좌변에는 f'(x)에 x²+x+1가 합성된 식이 존재하네요.
일단 f를 겉함수로 두는 식이 필요하고
이를 구하려면 적분해야 할 것 같은데
적분이 꽤 힘들어 보이네요.
저걸 치환적분할 수만 있었다면 참 좋을텐데..
속함수의 도함수가 곱해져있지 않아서 어려워보이네요.
하지만 치환적분을 위해
식조작을 도입한다면?
f'(x²+x+1)을 하나의 합성함수로 인식하면 속함수는 x²+x+1입니다.
치환적분을 하기 위해, 속함수의 도함수인 (2x+1)을 양변에 곱해봅시다.
좌변은 속함수×합성함수 꼴로 치환적분
우변의 첫번째 항은 부분적분, 나머지 우변은 다항함수 적분만
해주시면 최종적으로 이렇게 정리가 됩니다. (중간에 부분적분 계산은 생략했습니다.)
그런데 항등식을 잘 보면 f(1)과 f(3)이 식 안에 이미 들어가있네요.
꼭 굳이 저런 값을 항등식에 넣어서 표현해야 했던 걸까요?
문제 속 항등식에 주어진 표현에 주목해봅시다.
(평가원이 저 값을 준 이유가 있을지도 모르니까요.)
일단 항등식은 모든 실수 x에 대해
즉, 어떤 x값을 넣어도 성립하는 식이니
x에 몇을 대입하든 상관이 없겠네요?
그러면 실질적으로 좌변에 있는 합성된 f의 식이
f(1)이거나 f(3)이 되도록 하는 x값을 대입하면
f(1)과 f(3)의 값을 구할 수 있는 방정식을 구할 수 있겠네요.
( 좌변이 f(1)이나 f(3)이 아닌 다른 함숫값이 돼버리면
미지수만 늘어나므로 좋지 않아요. )
적분상수 C도 미지수니까 저희는 f(1),f(3),C를 구하기 위해
총 3개의 방정식을 "항등식에 대한 x값 대입"으로 구해야 합니다.
x=-1과 x=0을 대입하면 좌변이 f(1)로 된 방정식 2개가 구해지고
x=1을 대입하면 좌변이 f(3)으로 된 방정식 1개가 구해져서
이들을 연립하면 f(1),f(3),C의 값이 구해집니다.
(차피 단순 계산이니까 하실 수 있죠?)
그리고 f(7)을 구하기 위해 최종적으로
x=2도 항등식에 대입해주면 아까 구했던
f(1),f(3),C의 값을 이용해서 f(7)=93이 됩니다.
따라서 답이 93임을 알 수 있습니다!
좋아요는 글쓴이의 칼럼 제작에 큰 힘이 됩니다.
오늘 칼럼은 여기까지 입니다.
읽어주셔서 감사합니다.
(Apocalypse II)
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