“동향 따라가는 문제” - 0.161130(B)

Question

최근 일어나고 있는 항등식 유행...에 편승하고자 글을 써 보기로 했다.

~~사실 시험공부 귀찮아서 쓰는거임~~

요즘 미적분 4점에서 꽤 많이 나오던데

뭔가 새로운 함수를 복잡한 항등식으로 정의해놓고

얘가 어떤 개형을 가질지 직관으로 한 번, 그리고 미분으로 한 번 알아봐라...라는 게 의도인 것 같아 보인다.

그리고 소위 "기울기 함수"로 잘 알려진 171130(가), 231122 등을 보면 알겠지만

평가원은 꽤 옛날부터 이런 문제들을 킬러 주제로 출제해 왔다.

그 첫 번째로 다룰 문제는 2016학년도 수능 B형 30번이다.

최근에 많이 나온 '겉함수 - 속함수 끼워넣어서 동향 파악하는' 분위기의 문제는 아니지만

항등식으로 식 조작 및 개형 추론을 하는 과정은 얼추 유사해서 들고 와 봤다.

시작부터 특정 구간에서의 x에 대한 항등식, 모든 실수 x에 대한 항등식이 튀어나오기에

비주얼만 보고 지레 겁을 먹기 쉽다.

그러나 의외로 해당 문제는 엄청난 발상이나 계산력을 요구하는 것도 아니다.

다만, 여러 가지 기본적인 개념들의 조합을 요구할 뿐이다.

이 문제는

"정의된", "연속인", "미분가능한" 따위의

최근 여러 사설 모의고사에서 중요한 힌트로 쓰는 발문을 유심히 본다면

스타트를 어렵지 않게 끊을 수 있다.

1.

루트(4-2f(t))의 0부터 x까지의 정적분이 "모든 실수 x"에 대하여 성립한다는 건

루트(4-2f(t))의 값이 모든 실수 t에 대해 존재한다는 의미이다.

따라서, 모든 실수 x에 대하여 f(x)는 2 이하의 값을 갖는다.

또한, f(x)가 연속이므로 루트(4-2f(x))도 연속이 되어,

연속함수의 정적분으로 정의된 f(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

2.

(중학교 3학년 과정) 제곱근 기호가 붙어 있는 수는 반드시 0 이상의 값이다.

따라서, f'(x)의 값은 항상 0 이상이다.

또한 정적분의 아래끝인 0을 대입하면 f(0)=0이다.

이제 식을 꺼내서 조건 (가)에 맞게 계산해보자.

이러한 항등식 제작은 고등학교 1학년 과정임을 유념하자.

단, 여기서는 루트를 양변제곱하는 과정에서

"제곱하기 전 식이 0 이상임"을 잊지 말도록 하자.

a의 후보 2개를 가지고 케이스 분류를 하면 다음과 같다.

만약 a=0이면 b>0일 때는 f(0)=0에 모순임을,

b<=0일 때는 평균값 정리에 의해 모순임을 알 수 있다.

따라서 a=-1/2.

똑같이 평균값 정리에 의해 b<=0이면 모순이다.

따라서 b>0에서, b=2만이 가능하다.

그리고 이 부분이 해당 문제에서 가장 중요한 부분이다.

모든 실수 x에 대하여

f(x)<=2와, f'(x)>=0이 동시에 성립하려면

f(x)는 x>=2에서 오직 y=2의 상수함수일 수밖에 없다.

동향 파악해서 그래프에 끼워넣는다기보다는 식 계산이 주를 이루지만

마지막 f(x)<=2. f'(x)>=0의 부등식 발상은 꽤 중요하다고 생각해서 가져와봤다.

여기까지가 흔히 알려진 풀이이다.

두 번째로, (가) 조건을 배제하는 풀이 또한 존재한다.

부등식과 함숫값을 꺼내는 과정까지는 같으나,

f(x)=2일 때와 f(x)<2일 때로 나누는 과정이 필요하다.

그 이유는, 도함수와 원함수가 포함된 항등식이 주어졌을 때,

도함수와 원함수를 한쪽으로 몰아서 이항하고, 나머지 상수 및 x에 관한 식을 반대쪽으로 몰아서 이항한 뒤

양변을 적분하여 f(x)를 구할 수 있음에 기인한다.

사설에서 은근히 많이 나온 주제이다.

교육과정에 치환적분이 있음을 감안하면 평가원에서도 못 낼 이유는 없다고 본다.

이대로 양변을 x에 대하여 적분해 보자.

아까와 같은 결론이 나온다.

결국 y=2와 이차함수를 두고 결정해야 하는데

f(x)가 미분가능하고 f(0)=0임을 유념하면 빨간색 그래프를 따라갈 수밖에 없고

이는 위 결과와 같다.

(x의 범위를 생각했을 때에도 마찬가지)

그러니까 출제자 입장에서는 저 루트식을 이항해서 미분방정식을 풀리는 것보다

항등식으로 계수비교법을 시키는 게 방향성에 맞다고 판단한 것 같다..

어디까지나 필자의 추측일 뿐이다.

근래에 이런 문제가 출제된다면 조건 (가)를 빼고 출제할 가능성도 없지는 않아 보인다.

다음에는 171130을 분석해 보겠다

RIVI · Accepted Answer

171130 기울기 함수 말고 식으로 미는거 보여주나요

케인스의 개구리 · Answer

통통이도 풀 수 있는 건 안 비밀

“동향 따라가는 문제” - 0.161130(B)

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