오르비 형님들에게 질문드리기 조차도 부끄러운 수학 질문
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안녕하세요
한시수를 보다가 궁금한 점이 생겨 질문드립니다
사진도 함께 첨부하고 싶지만 현재 군복무중이라 카메라가 막혀있네요 하하..
일단 문제는 0이 아닌 두 실수 x,y에 대해 x:y=1:2 일 때
x/y+y/x 를 구하는 문제입니다
이 문제를 풀기 전 실려있던 개념은 비례식과 이콜케이입니다
비례식,등호가 섞여있으면 =k로 두고 풀어봐라 라는 내용이였습니다 비례상수 도입하는 발상은 이해되었고 이해가 안간 부분은 비례식 해석 과정이였습니다
해설에선 x/1=y/2=k 로 둘고 풀더군요
제가 이해가 안간 부분은 x/1=y/2입니다
왜 갑자기 비례식에서 분수로 저렇게 바꿔줄 수 있는건가요?
수식을 사용해서 설명해주셔도, 직관적인 감으로 설명해주셔도
좋으니 답변부탁드립니다 ㅜㅜ
참고로 제가 분수,비례식이 스스로 약하다고 생각들긴 하네요..
내향의 곱은 외향의 곱과 같다밖에 모르니..
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x:y=1:2니까 2x=y임. 그냥 비례식이랑 항등식 조작이라 뭐 해줄 수 있는 말이 없는데..
혹시 항이 세개로 이뤄져있어도 외향의 곱 내향의 곱이 성립하나요??
예컨대 x:y:z=1:2:3 이고
x/y+y/z+z/x를 구하는 문제에서도
똑같이
x/1=y/2=z/3=k 라고 하던데 설명해주실 수 있으실까요...?
내항의곱 = 외항의 곱
2x = y
양변 2로 나누기
x=k,y=2k이므로
x/1=k,y/2=k
일차원적으로는 비례식에서 외항의 곱과 내항의 곱은 같다고 식을 세우면 y=2x가 되고요, 2로 양변을 나눠준 다음에 k와 같다고 비례상수를 도입하는 겁니다
왜 굳이 2로 나눠줘야하는지 궁금하실 수 있는데 등식에서 비례상수를 도입하는 건 딱히 다른 제약이 없기 때문에 최대한 간단한 상태로 만들어준다음에 상수를 도입하기 위함이에요. 꼭 2로 나눠야할 이유는 없습니다
좀더 의미론적으로 접근하면 외항내항곱 같다는 성질과 비례상수를 쓰지 않고, 비례식의 의미를 생각해서 x와 y의 비율이 1대2니까(y가 x의 2배니까) x/y는 1/2이고, 역수 취해서 y/x는 2이다 라고 바로 풀어줄 수 있습니다 분수의 본질은 비율(몇배)이기 때문에 이런 사고방식도 갖추고 있는 게 유리해요
참고로 두번째 접근에서 비례식의 의미로 x/y를 바로 구한 건 외항내항곱 성질을 이용한 것과 같은 원리이자, 같은 조건을 사용한 것이고, 비례상수는 딱히 조건을 요구하거나 추가하지 않기 때문에 써도 안 써도 상황은 다르지 않아요. 때문에 다른 문제에서 비례식의 의미로 등식을 뽑아낸 후에는 외항내항곱 성질을 써도 추가적으로 얻어낼 수 있는 정보는 없습니다
어려운 문제에서는 문제에서 주어진 여러가지 조건들을 최대한 활용해서 정답을 뽑아내야하기 때문에 내가 어떤 조건을 썼고, 어떤 조건을 안 썼는지 대략적으로 파악하면서 접근하는 것도 중요합니다.
대한민국 군인 화이팅 !
정성스러운 답변 감사합니다
=k로 두고 식조작도 중요하지만,
비율로 보는것도 중요하단 것을 알고 가요
귀한 시간 내주셔서 다시 한 번 감사드립니다
위 댓글에서 세개의 항으로 이루어진 비례식 질문하셨는데 외항내항곱 그대로 적용할 수 있긴 하지만 그럴 때일수록 제가 위에서 설명한 것처럼 z가 x의 3배니까 z=3x, y가 x의 두배니까 y=2x 이다 라고 비례식의 의미를 해석해서 접근해도 같은 조건을 사용한 것이기 때문에 이렇게 접근하는 것이 유리합니다
진짜 감사합니다 꾸벅
알려주신거 바탕으로 혼자 연습해보는 시간을 가져야겠어요
감사합니다!!
화이팅!