[칼럼]연속성과 미분가능성(Apocalypse-II)

Question

오늘 10월 10일에는

연속성과 미분가능성에 대해 정리해 본

자료집을 공유해드리도록 하겠습니다.

①극한값 존재⇒연속⇒미분가능

포함관계에 대한 간단한 벤 다이어 그램입니다.

다들 한번쯤은 보신 친숙한 그림이죠?

(넘어가도록 하죠.)

②연속이면서 미분 불가능한 두 후보

연속이면서 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다른 첨점도 있지만,

기울기가 무한대가 되어 발산해버리는 점도 연속이지만 미분 불가능한 점입니다.

(부정형이 아닌 상태에서 기울기의 분모가 0이 되는 상황도 기울기가 무한대로 발산하는 상황에 포함됨)

③ (당연하니까 설명은 PASS)

④ (당연하니까 설명은 PASS)

아 물론 분모가 0이고 부정형이 아닌 점은 아까 말씀드린

기울기가 양이 됐든 음이 됐든 아무튼, 무한대로 발산하는 지점을 말합니다.

⑤다음은 연속함수들로만 정의된 함수를

평가원이 불연속으로 개조하는 방식입니다.

첫번째로는, 함숫값(y)이 0이 될 수 있는 가능성이 있는

연속함수를 분모 위치에 두는 방법이 있습니다.

두번째로는, 구간별로 정의된 함수로 연속함수를

서로 이어지지 않게 찢어버리는 방식이 있죠

(그 아래의 기울기가 ∞인 점에서 미불인 건

아까도 말씀드린 당연한 사실이니 PASS)

⑥절댓값으로 함수를 접어올려 그래프를 관찰해야 하는

상황이 종종 있죠. 이때 접어올린 점이 미가가 되기 위한 조건은

다음과 같습니다.

⇒접어올리는 점 중에서 관찰할 위치는 절댓값 함수니까 함숫값이 0인 지점의

미분 가능성을 관찰하겠죠? 우선 함숫값이 0이면서,

⇒ "접어올리는 점의 순간변화율, 즉 그 순간에서의 기울기가 0이라는 조건도 함께

만족하면 미불이 아닌 미가가 됩니다. 그 예시로는 접하는 점을 들어올릴 때 미불이 아닌 미가인

경우를 들 수 있겠죠."

⑦

아까 ⑥번에서

"접어올리는 점의 순간변화율, 즉 그 순간에서의 기울기가 0이라는 조건도 함께

만족하면 미불이 아닌 미가가 됩니다." 라고 한 말 있죠?

그것을 변곡점에 적용해보면, 변곡점을 접어올릴 때, 그것이 미가인지 미불인지에 대한

확실한 판단(물론 직관적 관찰로 바라보는 방법도 있지만 조금 더 확실한 방법)을 하시는 데

응용해보실 수도 있습니다.

아까 드린 말씀에 따르면, 삼차함수의 변곡점은 접어올렸을 때 미불일 수도 있고

아닐 수도 있다는 결론이 도출됩니다.

단, 일반적으로 변곡점은 접어올릴 때 미불이 된다고

할 수 있지만, 변곡점을 접어올릴 때 변곡점에서의 기울기가 0이 되는 특수한 상황이라면

⑥번에서의 "미불이 아닌 미가가 될 조건"을 만족하는 변곡점이 되기 때문에 그 변곡점은

예외적으로 미불점이 되지 않고 미분가능한 점으로 남아있게 됩니다.

좋아요는 글쓴이의 칼럼 제작에 큰 힘이 됩니다.

읽어주셔서 감사합니다.

The Blind Star · Accepted Answer

아 그래서 x^3 역함수가 미불이었구나

숏충이 대가리 박살 · Answer

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