평가원 수학 기출로 알아보는 핵심적 발상
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안녕하세요. Apocalypse-II 입니다.
이번 칼럼은 실제 기출에서 출제된 발상에 초점을 두어
이를 간단히 압축시킨 자료로 정리해보도록 하겠습니다.
※모든 발상을 정리한 것은 아니고 일부 발상만 추출해서
정리한 자료임을 숙지하시길 바랍니다.
앞으로는 발상을 추출해낸 원본 문제도 같이 첨부드리려고
노력해보도록 햐겠습니다!
01. 구간별로 정의된 함수로 인식하는 안목이 중요하다.
01번
원본 문제
2022학년도 대학수학능력시험 수학 12번 문제
01번
발상 정리
원본 문제에서 {f(x)}³-{f(x)}²은 {f(x)}²으로 묶어주시고 나머지 남은 식들도
-x²으로 묶어서 인수 정리를 잘 해주시면 최종 계산결과로
f(x)=1,x,-x를 얻으실 수 있게 됩니다.
여기서 f(x)를 구간별로 정의된 함수로 인식하는 것이 이 문제의
핵심 포인트적인 발상입니다.
그리고, 주어진 조건인 최댓값,최솟값 조건에 따라 구간별로 각각 세 함수 중 어느 함수의
부분을 따라갈 것인지를 결정해주면 이 문제는 풀립니다.
(최종 개형은 아래 빨간 선으로 그어놓은 그래프의 모양대로 나오게 됩니다.
문제에서 구하라는 함숫값은 저 그래프를 참고해서 대입만 해주면 되겠죠?)
02. 삼차함수는 이차함수와 달리 봉우리에서 대칭성을
이루지 않고 두 함숫값 간의 차가 존재한다.
02번
원본 문제
2022학년도 수능 예시문항 22번 문제
02번
발상 정리
원래는 두 함숫값의 높이를 다르게 표시하는 것이 정확합니다.
삼차함수에서 급격하게 증가하는 구간과 느리게 감소하는 구간이 존재하기 때문에
극점이 있는 축으로부터 같은 거리에 떨어진 위치에 대응하는 두 함숫값을
서로 같지 않게 만듦을 알 수 있습니다. (여기선 f(1)이 f(-1)의 함숫값보다 더 큽니다.)
03. 이차함수를 일정 간격의 구간을 잡아
정적분을 시킨 넓이는 축을 기준으로 최소가 된다.
(여담:지금보니까 아래 발상정리 그림에서 t랑 t+1로 표시해야 할 것을 x와 x+1로 잘못 표시했네요. ㅜㅜ)
(t와 t+1로 정정합니다.)
03번
원본 문제
1994학년도 대학수학능력시험
(좀 많이 옛날 문제긴 한데 암튼 꽤 흥미로운 발상이 하나
있어서 선별해봤습니다)
03번
발상 정리
이차함수는 축의 x좌표에서 최소의 함숫값을 갖고 이를 기준으로
선대칭성을 갖고 있는 특징이 있죠.
따라서 아래로 볼록한 이차함수를
기준으로 쳤을 때, 함숫값이 가장 작은 축의 x좌표를 기준으로 좌우의 함숫값을
좌우 대칭 구간으로 잡아서 정적분을 시킨다면 축을 기준으로 위끝과 아래끝을 좌우대칭
시켜서 정적분 구간을 잡게 되면 그때 정적분 넓이가 최소를 갖게 됩니다.
(아래 그림에서 빨간색 구간의 넓이가 파란색 구간의 넓이보다
함숫값적인 측면에서 더 작을 수밖에 없고, 빨간색 구간일 때의
정적분 넓이가 최소를 갖게 됨을 축에 대한 선대칭의 개념으로 알 수 있습니다.)
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