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수학에뻐진컴싸 [1275747] · MS 2023 · 쪽지

2025-10-06 03:08:48
조회수 296

고3도 이해 가능한 복소수와 회전

게시글 주소: https://orbi.kr/00074946513

일단 우리가 물2를 배울때 가장 처음에 배우는 실전기술이 "축을 자유롭게 잡을수 있다" 인데, 이는 2차원 기준으로 어떤 축을 잡아도, 어떤 점에 대해서 상대적인 좌표는 다르게 표현되도, 그 절대적인 좌표는 같다는 사실이 잘 알려져 있음.


그리고 이미 실수가 수직선위에 나타낼수 있듯이, 복소수 a+bi는 숫자의 종류가 2개로 늘어났으니까 수직선대신 수지선 2개를 크로스해서 만드는 평면위에 나타내어야 함.


이렇게 복소수를 평면위에 나타내는것을 복소평면이라고 부르는데, 당연히 a+bi는 (a,b)로 나타남.


그렇다면 여기서 저 검은축을 적당하게 회전시키면 빨간축이 된다고 볼수 있음, 이때 검은축 기준으로 (1,1) 인 점을 회전시킨 점은 빨간축 기준으로는 (1,1)에 위치해 있지만, 검은축 기준으로는 어디에 위치해 있는가? 라는 질문이 생김.


이질문에 대한 답은 복소수의 곱셈이 해결해 줌.


저 검은축은 결국 1(앞)과 i(위) 라는 것을 "기준"으로 앞으로 1번, 위로 한번 이동한 점이라고 볼수 있는데, 

마찬가지로 저 빨간점도 회전당한 무언가(앞), 회전당한 다른무언가(위)를 기준으로 앞으로 1번, 위로 한번

이동한 점이라고 생각할수 있음, 결국 "회전당한 무언가들"을 1과 i로 표현해야함, 하지만 이는 너무 간단하게

해결할수 있는데, 애초에 우리가 회전한 각만 알면 바로 기준이 되는 축이 어디인지를 알수있음,

이렇게 기준이 되는 1과 i를 단위원을 이용해 표현하면 직관적으로 알수있음.

여기서 조금만 생각을 해보면,




임을 알수있는데 결국 (a,b)를 각 θ  만큼 회전시키려면, 

를 해주면 된다는걸 알수있음!(회전된 점의 좌표는 ((acos(θ)−bsin(θ)),(asin(θ)+bcos(θ)) 임.)

여기서 추가적으로 알수있는 사실은 

이니까.


의 모든 근을 찾으라는 문제는 결국, "n번 회전해서 0도로 돌아오는 각은 얼마인가"로 볼수 있기에,




(이때 k= 0,1,2...n-1)

라고 일반화가 가능함.

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