170921(나형)-'마찬가지로'의 사용

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**우선 이 기출에 대해 논하기로 앞서, 다항방정식이 x=a의 중근을 가질 때, 이 다항식이 (x-a)^2을 인수로 가지고, 이 역도 성립함은 매우 쉽게 증명할 수 있다. 대우를 활용하여, 다항방정식이 x=a라는 '중근이 아닌 근'을 가질 때, 이 다항식에서 인수 (x-a)의 개수는 오직 1개라는 사실도 증명할 수 있다. 역도 마찬가지.

연속함수 f(x)의 x=a에서의 좌미분계수(이하 좌미)를 lim x->a- f(x)-f(a)/(x-a)로 정의하며, 우미분계수(이하 우미)를 a- 대신 a+를 사용하여 정의하겠다. 미분가능의 정의에 의해, 연속함수가 좌미=우미일 때 미분가능하다.

일단 아주 간단히만 말하면, 노가다성이 좀 있긴 하지만 요즘 나올때 킬러까진 못 간다. 그 이유 중 하나가 "마찬가지로"의 사용으로, 노가다의 양을 많이 줄여주기 때문이다. '마찬가지로'는 수능에서도 가끔씩 쓰지만, 논술에서도 (특히 확통) 간간히 쓰는 말인데, 유사한 과정을 반복할 때 쓴다. 밑은 임의의 상황을 가정하여 예시를 들어본 것이다.

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(~~과정~~)

따라서 p=3일 때 경우의 수는 253이다.

마찬가지로,(또는 동일한 방법으로,) p=4일 때 경우의 수는 72이다.

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170921에서도 "마찬가지로"를 활용하여 노가다량을 꽤나 줄여줄 수 있다. kx^2(x-2)(x-3)일 때와 kx(x-2)(x-3)^2일 때 중 하나만 우선 봐주고, 나머지 하나는 똑같은 과정으로 증명할 수 있다. [0,2], [2,3] 둘 중 하나에서만 봐주면 되기 때문이다. 심지어, f=kx(x-2)^2(x-3)일 때도 대부분의 과정을 단축시켜줄 수 있다. '안되는 경우만' 모두 제거하였기 때문에 나머지 경우는 당연히 '되는 경우'일 것이며, k의 범위를 구할 때는 사실 편법을 써도 무방하다.

애초에 g(x)를 f(x)와 lx(x-2)(x-3)l의 대소 비교를 통하여 정의했기 때문에, f(x)의 실근이 0, 2, 3뿐인 상황에서 나머지 한 근이 허수일 수가 없다. 따라서, f(x)식은 kx^2(x-2)(x-3)일 때와 mx(x-2)(x-3)^2, nx(x-2)^2(x-3) 중 하나여야만 한다. (단, k, m, n은 음의 상수이다.)

f=kx^2(x-2)(x-3)라고 하자. 명백히 lx(x-2)(x-3)l>=0이므로, (-inf,2], [3, inf)일 때는 무조건 g=f임을 알 수 있다. 다항함수는 항상 미분가능하므로, g가 미분가능하기 위해 [2,3]에서 미분가능함이 밝혀지면 g는 전구간 미분가능하다. 이때 항상 (좌미)-(우미)=0임을 이용하겠다. 2<=x<=3라고 한정하고, f-lx(x-2)(x-3)l=x(x-2)(x-3)(kx+1)이다.

f의 미분계수를 관찰하면, -1/2와 -1/3를 경계로 k의 범위를 나눠 확인해야 함을 생각해 볼 수 있다. k<=-1/2일 때, [2,3]에서 언제나 g=-x(x-2)(x-3)이다. x=3에서 g(x)의 좌,우미를 통해 미분가능성을 확인하면, -3과 9k는 절대로 같아질 수 없으므로, 무조건 x=3에서 미분 불가능하다.

-1/2<k<-1/3일 때는 방정식 kx+1=0이 2<=x<=3에서 근을 '오직 하나' 갖고, 이 근은 0도 2도 3도 아니다. 따라서, f(x)와 절댓값함수가 2와 3 사이의 어떤 점에서 무조건 만나며, 접하지 않는다. g(x)의 정의상 x=-1/k에서 좌미와 우미가 같지 않으므로, 이 점에서 미분 불가능하다.

k>=-1/3일 때는, 항상 f<=절댓값함수이므로 g=f이다. 따라서 g는 다항함수이므로 전구간 미분가능하다.

f(1)=2k이므로, f(1)의 범위를 구할 수 있다.

f=mx(x-2)(x-3)^2일 때는 x의 범위를 [2,3] 대신 [0,2]라고 한정하여 m의 범위를 구하면 k>=-1/3이다. f(1)=-4m이므로, f(1)의 최댓값은 4/3이다.

f=nx(x-2)^2(x-3)일 때도 동일한 이유로 f=(절댓값함수)의 근이 (0,2), (2,3)에 존재할 수 없음을 알아낼 수 있다. 0<=x<=2일 때 f-(절댓값함수)=x(x-2)(x-3)(kx-2k-1)이고, 2<=x<=3일 때는 f-(절댓값함수)=x(x-2)(x-3)(kx-2k+1)이다.

처음 경우와 매우 비슷하게 n의 범위를 구하면, n의 범위는 n>=-1/2이고 f(1)=-2n이므로, f(1)의 최댓값은 1이다.

따라서 f(1)의 최댓값은 4/3이다.

설마 누구?마냥 인수분해가 완벽하게 된 꼴의 삼차부등식을 못 풀진 않겠지... 나보다도 수학 더 잘할 것 같다고 했는데 설마 x(x-2)(x-3)<=0의 해를 못 구할까.