역교점함수

Question

f(g(x))=h(x)꼴 항등식에서 g(x)를 교점함수, f(x)를 역교점함수(내가 임의로 지은 이름임)라 한다.

교점함수가 g(x)에 대한 방정식 f(g(x))=h(x)의 해를 유일하게 선택하여 정의한 것이라면

역교점함수는 t=g(x) 위에서 유일한 f(t)=h(x)를 갖도록 정의한 것이다.

즉 f(x)는 t에 대한 방정식 x=g(t)의 해를 h(t)에 집어넣은 것

이때 x의 변화에 따라 그려지는 t의 자취는 y=g(x)의 그래프를 y=x에 대해 대칭시킨 도형 G와 같다는 것에 주목하면

f(x)는 h(x)에 G를 합성시킨 것으로서(정확히 말하면 G를 일대일대응 그래프들의 합집합이 되도록 잘라 만든 함수들을 h(x)에 합성한 것으로서)

n축을 통해 시각적으로 이해할 수 있다.

예시)

물론 이경우는 f(x)가 함수가 될수 없다.

f(x)가 함수로 정의되기 위한 필요조건을 짚고 넘어가고자 일부러 잘못된 예시를 들었다.

예시에서 알 수 있듯 반드시 f(x)의 정의역에 속하는 x에 대해 t에 대한 방정식 x=g(t)를 만족하는 t의 값들을 h(t)에 집어넣었을 때 그 값들이 모두 같아야 한다.

이는 그래프에서 시각적으로 이해하는 하나의 방법이고

수식적으로 보이고자 한다면 g(x1)=g(x2)인 x1, x2에 대해 f(g(x1))=f(g(x2))=h(x1)=h(x2)임을 보이는 것으로 충분하다.

필요조건이 복잡하기에 웬만하면 g(x)가 일대일대응인 것이 좋다는 것을 알 수 있다.

만약 g(x)가 미분가능한 함수라면 여기서 g'(x)에 대한 부등식을 만들수 있고 미분계수가 0인 점이 반드시 존재하도록 조건을 주면 숨겨진 등식 하나를 만들 수도 있을 것이다.

혹은 g(a)=g(b)라는 등식을 주고 h(x)를 특수하게 줘서 g(x)를 [a, b]에서 상수함수로 만들 수도 있을 것.

마침 6평과 9평에 교점함수를 낸 김에 수능 28번은 역교점함수를 내서 241128처럼 상수함수를 숨겨놓는 가능세계가 있을 수도 있지 않을까 하는 망상을 한번 해봄.

역교점함수의 차수논리도 생각해볼 수 있을 것임

이경우 차수논리에 중독돼서 극한을 식으로 다루기 어려워하는 하수들을 벙찌게 만들 수 있을 듯

역교점함수까지 공부하고 가는 사람은 드물테니..

딴소리지만 솔직히 말하면 수능때는 그냥 7모 30번 비슷한 교점함수 정적분 유형 나올 것 같음. 아님말고

물론 위의 상수함수 예시도 있듯이 g(x)가 꼭 일대일이어야 할 필요는 없음

231122가 대표적인 예시인데 g(x)와 h(x)가 동시에 x=a에 대해 선대칭인 경우도 있음

imna · Accepted Answer

겉함수 추론하는 거면 걍 합성함수로 다루면 되지 않나

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