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칠정, [1411042] · MS 2025 · 쪽지

2025-09-16 20:24:35
조회수 495

이왕 재탕하는 김에

게시글 주소: https://orbi.kr/00074704975

전 글의 숫자들은 다음 공식에서 나옴


τ(d)는 d의 약수의 개수,

전 글의 숫자들은 여기 n에 24를 넣은거임



이 공식 증명 중에 하나를 소개하기 위해

1. 곱셈함수

1-1, 곱셈함수 정의

첫번쨰로 정수론 함수, 이건 간단한건데 정의역이 자연수면 정수론 함수임


정수론 함수중에는 곱셈함수라는 것들이 잇음


이건 머냐, 아래 명제를 만족하면 됨

x,y가 서로소일 때, f(xy)=f(x)f(y)

예시로는 약수의 개수, 약수의 합, 자신 이하의 서로소인 수의 개수 (오일러 피 함수) 등이 유명하고

f(x)=x^n도 당연히 곱셈함수, 르장드르 심볼도 곱셈함수임 (얘네 둘은 완전곱셈함수(x,y가 서로소가 아니여도됨))


f, g가 곱셈함수일 때, f*g가 곱셈함수임도 자명

1-2, 곱셈함수 << 왜 필요한가

이런거 찾아서 어따 쓰냐 할 수 잇는데

보통 정수론 함수들의 함숫값을 알아낼 때, 소수의 지수 꼴의 함숫값, 즉 f(p^e) 등의 꼴은 상당히 찾기가 쉬움

예를 들어, 약수의 개수만 봐도 τ(p^e)=e+1임을 누구나 알 수 잇음

그런데 첫째로 모든 소수의 지수 꼴들은 소수만 다르면, 서로소이고,
        둘째로 모든 자연수는 유일하게 소인수분해가 가능함 (산술의 기본 정리)

따라서, 우리는 소수의 지수 꼴 함숫값을 알고, 곱셈함수임을 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다는 뜻,

ex) τ(n)=τ(p1^e1*p2^e2*...*pt^et)=(e1+1)(e2+1)...(et+1) 이런 식으로,


조금 더 생각하면 이런 생각도 가능, > 완전곱셈함수를 정의하는 이유는?

>> 소수에서의 함숫값만 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다.

2. 합함수


2-1. 합함수의 정의

f(n)이라는 정수론 함수가 잇을 때 다음, F(n)을 합함수라고 부름




또 간단한 예시

τ(n)은 n의 약수마다 1을 더한거이므로, 합함수라고 볼 수 잇음

2-2. 합함수 성질

합함수의 중요한 성질은,

f(n)이 곱셈함수이면, F(n)도 곱셈함수라는 거임


이 명제의 증명은 꽤나 어려운데 증명의 핵심은

x,y가 서로소일 때, xy의 약수는 x의 약수 a, y의 약수 b의 곱으로 유일하게 표현된다는 거임.

이 때, a와 b가 서로소임은 매우 자명함

근데 이거 아이디어는 진짜 어려운거라, 그냥 식 순서만 쓰겟음 식 따라가면서 ㅇㅇ 그렇구나 하면댐
(아이디어가 어려운거지 과정 이해하는건 안 어려움)


서로소인 x,y에 대해



마지막 식이 이해 안 갈 수 잇는데, 숫자 대충 넣고 써보다 보면 이해가 갈꺼임..


3. 맨 위의 식 증명


τ(n)이 곱셈함수이기 때문에, τ(n)^3도 곱셈함수고, 그 합함수도 곱셈함수고, 합함수 제곱한것도 곱셈함수임


>> p^e일 때만 증명하면 오카이다 (왜냐면 이 때 같으면 곱해서 만든것도 같을꺼잖음)


쨋든 그래서 p^e 넣어보면

1^3+2^3+3^3+...+(e+1)^3=(1+2+...+(e+1))^2 나오는데, 모두가 다 아는 그 식임
(그래서 보면, 이 항등식의 일반화가 맨 위의 식임을 알 수 잇음, 일반화된 공식을 자기자신으로 증명하는 점이 재밋음)

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칠정, [1411042]

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