이왕 재탕하는 김에
게시글 주소: https://orbi.kr/00074704975
전 글의 숫자들은 다음 공식에서 나옴
τ(d)는 d의 약수의 개수,
전 글의 숫자들은 여기 n에 24를 넣은거임
이 공식 증명 중에 하나를 소개하기 위해
1. 곱셈함수
1-1, 곱셈함수 정의
첫번쨰로 정수론 함수, 이건 간단한건데 정의역이 자연수면 정수론 함수임
정수론 함수중에는 곱셈함수라는 것들이 잇음
이건 머냐, 아래 명제를 만족하면 됨
x,y가 서로소일 때, f(xy)=f(x)f(y)
예시로는 약수의 개수, 약수의 합, 자신 이하의 서로소인 수의 개수 (오일러 피 함수) 등이 유명하고
f(x)=x^n도 당연히 곱셈함수, 르장드르 심볼도 곱셈함수임 (얘네 둘은 완전곱셈함수(x,y가 서로소가 아니여도됨))
f, g가 곱셈함수일 때, f*g가 곱셈함수임도 자명
1-2, 곱셈함수 << 왜 필요한가
이런거 찾아서 어따 쓰냐 할 수 잇는데
보통 정수론 함수들의 함숫값을 알아낼 때, 소수의 지수 꼴의 함숫값, 즉 f(p^e) 등의 꼴은 상당히 찾기가 쉬움
예를 들어, 약수의 개수만 봐도 τ(p^e)=e+1임을 누구나 알 수 잇음
그런데 첫째로 모든 소수의 지수 꼴들은 소수만 다르면, 서로소이고,
둘째로 모든 자연수는 유일하게 소인수분해가 가능함 (산술의 기본 정리)
따라서, 우리는 소수의 지수 꼴 함숫값을 알고, 곱셈함수임을 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다는 뜻,
ex) τ(n)=τ(p1^e1*p2^e2*...*pt^et)=(e1+1)(e2+1)...(et+1) 이런 식으로,
조금 더 생각하면 이런 생각도 가능, > 완전곱셈함수를 정의하는 이유는?
>> 소수에서의 함숫값만 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다.
2. 합함수
2-1. 합함수의 정의
f(n)이라는 정수론 함수가 잇을 때 다음, F(n)을 합함수라고 부름
또 간단한 예시
τ(n)은 n의 약수마다 1을 더한거이므로, 합함수라고 볼 수 잇음
2-2. 합함수 성질
합함수의 중요한 성질은,
f(n)이 곱셈함수이면, F(n)도 곱셈함수라는 거임
이 명제의 증명은 꽤나 어려운데 증명의 핵심은
x,y가 서로소일 때, xy의 약수는 x의 약수 a, y의 약수 b의 곱으로 유일하게 표현된다는 거임.
이 때, a와 b가 서로소임은 매우 자명함
근데 이거 아이디어는 진짜 어려운거라, 그냥 식 순서만 쓰겟음 식 따라가면서 ㅇㅇ 그렇구나 하면댐
(아이디어가 어려운거지 과정 이해하는건 안 어려움)
서로소인 x,y에 대해
마지막 식이 이해 안 갈 수 잇는데, 숫자 대충 넣고 써보다 보면 이해가 갈꺼임..
3. 맨 위의 식 증명
τ(n)이 곱셈함수이기 때문에, τ(n)^3도 곱셈함수고, 그 합함수도 곱셈함수고, 합함수 제곱한것도 곱셈함수임
>> p^e일 때만 증명하면 오카이다 (왜냐면 이 때 같으면 곱해서 만든것도 같을꺼잖음)
쨋든 그래서 p^e 넣어보면
1^3+2^3+3^3+...+(e+1)^3=(1+2+...+(e+1))^2 나오는데, 모두가 다 아는 그 식임
(그래서 보면, 이 항등식의 일반화가 맨 위의 식임을 알 수 잇음, 일반화된 공식을 자기자신으로 증명하는 점이 재밋음)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
#07년생#08년생#독학생 오르비의 주인이 될 기회 31 32
-
하남 뭐임? 인구증가율 2위네 0 0
화성이 올해 특례시 100만 넘더니 1위 하남이 2위네 ㄷㄷㄷ
-
설치 정시합격자 계신가요 0 0
단톡방같은거 초대되셨나요?
-
통합과학 말인데요 0 0
문과성향 강한 사람이 하기에 많이 어렵나요? 수학도 쩔쩔 맴 ㅠ
-
안녕하세요 과탐만 고트입니다 0 0
ㅎㅎ
-
아무거나 ㄱㅊ
-
216 학파님들.. 0 0
현재 브크 수강 중이고 부교재로 마더텅 풀면서 기출db로 해설강의 보고 있습니다....
-
오늘 머리를 개쎄게 쳐서 0 0
월요일 2시에 깨어난다면 기다리지 않은게 됩니다
-
의대 편입 0 0
난이도 대충 말좀
-
마더텅/자이 공통수학 좋은가요 0 0
현재까지 공수1은 개념원리, rpm, 쎈, 마플시너지, 고쟁이(얘는 두 번) 풀었고...
-
너는별을보자며내몸을당겨서 4 1
단한번에달빛을내눈에담았어
-
와 개시발 2 1
침삼켰는데 옆 목 뼈 뒤틀렸음 이번거는 ㅈㄴ레전드로 뒤틀림 수능도 못쳐보고 이세계 갈뻔
-
-
수학만 고트입니다 11 0
-
무단결섯 25개 0 0
한양대 썻는데 좆된건가
-
시간은 상대적 0 0
인게 맞다 휴가나오면 10시간이 순삭인데 공부하면 10시간이 3달이노;;; 내 휴가...
-
뭘 해야할 동기가 없음 5 0
분명 공부, 운동 등등 밖에 나가서 해야할 건 많은데 할 의욕이 안 생겨요 방법이 있을까요 ?
-
수1이 22번된게 안좋아진듯 0 1
예전엔 수1 21번 풀고 수2 22번은 바로 째꼈는데 이젠 이짓저짓하다가 2개 다 날림..
-
올해 1+2가 2+2보다 서울대식으로 유리할지도? 4 0
2+2가 1+2보다 유리하려면 원투가 같은 난도로 나왔다고 가정했을 때 투가 원보다...
-
작수 21번 1 0
드디어 혼자 풀어봤다...엉엉 케이스분류하는법에 깨달음이왔어..,
-
친구랑 술마시는데 여자보고싶다 6 0
시발
-
26학번 아기 독수리 여러분 합격을 진심으로 축하합니다! 0 0
안녕하세요! 연세대학교 중앙새내기맞이단입니다. 26학번 새내기 여러분 합격을...
-
안녕 3 0
ㅎㅇ
-
헌팅과 한탕 3 0
뽈롱
-
님들mbti뭐임 7 0
저 intp
-
요즘 여자애들은 왤게 헌팅하냐 2 1
번화가지나가면 헌팅안당하는 날이없냐 근데 만나면 사줘야하고 먼저 안살려고하냐...
-
ISTP가 7 0
되게 인성이 바르면 정말 호감에 인싸가 되기 쉽고 그런데 세상에 좀 염세적이 면이...
-
S21 0 0
정직하죠?
-
Ebs인강으로 수능대비 ㄱㄴ? 6 0
메가, 대성 이런거 안듣고 Ebs강의+기출+N제로 수능 1~2등급 가능함?
-
연대 합격 인증!! 3 2
그동안 정보 많이 얻었습니다!! 도와주신 분들 다 감사합니다!!
-
올해 한의대 입시자료 정리된 페이지 혹시 없나여 0 0
제곧내임 메디컬 올해꺼(2027수능) 종류별로 찾는중인데 한의대 학교별로...
-
Qwer 히나 별론데 2 0
⭐️⭐️⭐️⭐️로네 진짜 ㅈㄴ 이쁘네
-
반바지에 롱패딩 입고 나왔는데 10 0
어떤 할아버지가 이상한 눈으로 처다보고감
-
연예인 닮은꼴 3 1
본인사진 넣고 제미나이한테 물어보셈 개웃기다 이거 미친에이아이네
-
저는한국인이아닙니다 5 0
분명국어수업인데 시발 20분동안 못알아쳐먹어서 친구랑 같이 멍탐
-
서방정류 먹으면 2 1
똥꼬로 캡슐 싸잖아 난 처음에 그거 보고 내 장까지 망가졌나 오만생각을 다 함 ㄹㅇ 깊생.
-
샤대생이고 나이는 2x 초중반입니다.. 다시 입시판 들어가고자 하는데 화작 언매...
-
나 머리 겁나 안 좋음 11 3
너무 슬퍼
-
서울대 언론정보학과 점공 있으신 분 ㅠㅠ
-
의협 “의대 졸속 증원 즉각 중단하라…어떤 숫자도 용납 못해” 5 1
김택우 대한의사협회 회장. [연합] [헤럴드경제=박혜원 기자] 대한의사협회가 정부의...
-
추합 포기하는 법 2 0
다군이 추합 안정권이고 가나군 중에 한 곳 갈거라 포기할건데 그냥 등록금 입금 안...
-
홍대 자연 자전 0 0
예비 101번 ㄱㄴ?? 강기원 김현우 현우진 강민철
-
(3시간후최종마감)대성패스 사면 1만원+추가사례!까지드려욤 :D 메가강대시대러셀두각현강재종 0 0
안녕하세요 오르비언님들!! (오늘 자정 최종마감 오피셜 떴습니다ㅠ) 1월 13일부터...
-
악시발 8 0
오르비에정상인이없어
-
학교 우선순위좀 정해주세요 16 0
편입생인데 편입카페에서 학교골라달라하면 견제가 너무 많아서 성균관대 통계학과 중앙대...
-
아 개졸린데 3 0
불닭로제납작당면 해먹고 싶어서 못잠 도야지의삶임
-
반만 성공한 반수생인데 삼반수를 고민하는 게 맞을까요? 2 2
안녕하세요, 고민하다가 글 올려봅니다. 저는 두 번째 수능을 마친 06년생입니다....
-
바닥에 꼬추털 왤케 수북해
-
프사추천좀 4 0
ㅇㅇ
-
수학만고?트 4 0
입니?다
-
약속의 9시조발 13분전✊✊✊ 2 0
✊✊
신고했어요이게 진짜 재밋는 거거든요
바로 스크랩
통매음으로 고소했어요야하긴 해 이게
님 팔로잉 29998됨
눈버렷다
띠발
마지막만이해함
아니 또 어디로갓어