이왕 재탕하는 김에
게시글 주소: https://orbi.kr/00074704975
전 글의 숫자들은 다음 공식에서 나옴
τ(d)는 d의 약수의 개수,
전 글의 숫자들은 여기 n에 24를 넣은거임
이 공식 증명 중에 하나를 소개하기 위해
1. 곱셈함수
1-1, 곱셈함수 정의
첫번쨰로 정수론 함수, 이건 간단한건데 정의역이 자연수면 정수론 함수임
정수론 함수중에는 곱셈함수라는 것들이 잇음
이건 머냐, 아래 명제를 만족하면 됨
x,y가 서로소일 때, f(xy)=f(x)f(y)
예시로는 약수의 개수, 약수의 합, 자신 이하의 서로소인 수의 개수 (오일러 피 함수) 등이 유명하고
f(x)=x^n도 당연히 곱셈함수, 르장드르 심볼도 곱셈함수임 (얘네 둘은 완전곱셈함수(x,y가 서로소가 아니여도됨))
f, g가 곱셈함수일 때, f*g가 곱셈함수임도 자명
1-2, 곱셈함수 << 왜 필요한가
이런거 찾아서 어따 쓰냐 할 수 잇는데
보통 정수론 함수들의 함숫값을 알아낼 때, 소수의 지수 꼴의 함숫값, 즉 f(p^e) 등의 꼴은 상당히 찾기가 쉬움
예를 들어, 약수의 개수만 봐도 τ(p^e)=e+1임을 누구나 알 수 잇음
그런데 첫째로 모든 소수의 지수 꼴들은 소수만 다르면, 서로소이고,
둘째로 모든 자연수는 유일하게 소인수분해가 가능함 (산술의 기본 정리)
따라서, 우리는 소수의 지수 꼴 함숫값을 알고, 곱셈함수임을 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다는 뜻,
ex) τ(n)=τ(p1^e1*p2^e2*...*pt^et)=(e1+1)(e2+1)...(et+1) 이런 식으로,
조금 더 생각하면 이런 생각도 가능, > 완전곱셈함수를 정의하는 이유는?
>> 소수에서의 함숫값만 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다.
2. 합함수
2-1. 합함수의 정의
f(n)이라는 정수론 함수가 잇을 때 다음, F(n)을 합함수라고 부름
또 간단한 예시
τ(n)은 n의 약수마다 1을 더한거이므로, 합함수라고 볼 수 잇음
2-2. 합함수 성질
합함수의 중요한 성질은,
f(n)이 곱셈함수이면, F(n)도 곱셈함수라는 거임
이 명제의 증명은 꽤나 어려운데 증명의 핵심은
x,y가 서로소일 때, xy의 약수는 x의 약수 a, y의 약수 b의 곱으로 유일하게 표현된다는 거임.
이 때, a와 b가 서로소임은 매우 자명함
근데 이거 아이디어는 진짜 어려운거라, 그냥 식 순서만 쓰겟음 식 따라가면서 ㅇㅇ 그렇구나 하면댐
(아이디어가 어려운거지 과정 이해하는건 안 어려움)
서로소인 x,y에 대해
마지막 식이 이해 안 갈 수 잇는데, 숫자 대충 넣고 써보다 보면 이해가 갈꺼임..
3. 맨 위의 식 증명
τ(n)이 곱셈함수이기 때문에, τ(n)^3도 곱셈함수고, 그 합함수도 곱셈함수고, 합함수 제곱한것도 곱셈함수임
>> p^e일 때만 증명하면 오카이다 (왜냐면 이 때 같으면 곱해서 만든것도 같을꺼잖음)
쨋든 그래서 p^e 넣어보면
1^3+2^3+3^3+...+(e+1)^3=(1+2+...+(e+1))^2 나오는데, 모두가 다 아는 그 식임
(그래서 보면, 이 항등식의 일반화가 맨 위의 식임을 알 수 잇음, 일반화된 공식을 자기자신으로 증명하는 점이 재밋음)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
#07년생#08년생#독학생 오르비의 주인이 될 기회 37 37
-
매일ㅅㅅ하는사람개추 2 1
세수
-
일반화하지마라 ㅋㅋ 1 2
ㅇㅇ
-
6시에 일어나야하는데 0 0
밤이나 샐까용 오늘 12시에 일어나긴함..
-
자취 장점 16 0
적어주셈
-
내일 출국해야되는데 출발 1시간전에 공항 도착할 생각임 1 0
그러면 항상 개쫄리면서 짐부치고 줄서는데 출국장 나오고 면세점 들어가면 출발 40분전쯤 돼있음
-
난 괜찮아 0 0
-
어몽어스할사람 2 0
남아프리카서버로들어와라
-
고려대 26학번 합격자를 위한 고려대 클루x노크 오픈채팅방을 소개합니다....
-
근무 ㅇㅈ 12 0
인스타 피드 에딧하는거임
-
오늘 월세방보러간다 13 2
내집마련의꿈(월세 아빠돈으로 냄) 삼전 ㅈㄴ 올라서 보증금 충당함 개꿀
-
잘자요 8 0
생일 추카해줘서 고마워요
-
이래도 남녀차별 없다고 할거임? 10 1
설날에 가족끼리 다 모임 식구가 32명정도됨(친척 포함해서) 여자들은 오자마자 음식...
-
-
251115 0 0
-
060606 090909 111111 손풀이좀 올려주실분 2 0
ㅈㄱㄴ
-
내일부터 운전면허학원 가야하네 2 0
벌써 시간이 이렇게 지났군 감 다 잃은거 같은데 괜찮을까
-
화작확통생윤사문단 없나요 2 0
레전드담요단 조합 올해 저랑 같이하실 분 찾아용..
-
오비르잘자 12 0
-
웹툰 보고 자야겟다 2 0
내일도 술마시려면 미리미리 일찍 자둬야징 내일 고대 가서 사진 찍고 놀기로 햇어 ㅇㅅㅇ
-
주변 친구들을 보면 0 0
다 어른이 된 것 같아
-
응..
-
260601 2 2
-
수학 문만 관련 질문 받음 10 0
아직 많이 초보임
-
자 노래추천 받습니다 3 0
고우
-
나키의 장점 8 0
현란한 언변과 호감상의 외모 나키의 단점 게으른 완벽주의자
-
일하는중 0 0
새벽야근실화냐
-
교사경 문제집 추천 1 0
뭐 있음니뇨
-
현우진쌤 기하 뉴런에 공간벡터가 추가되네요?..
-
여러분 나도 축하해줘요 13 3
4일 뒤에 첫 출근해요!!!!!!!! 21개월짜리 계약직이지만 나 행복해요 나도...
-
인하아주 1 0
두 학교 2년간 상승세인 걸로 아는데 어느라인까지 오를 거 같음용?
-
추가모집 기간이 언제임? 0 0
대학마다 다른가 입시 좆된 친구 있는데 도와주고싶어서
-
술싫어 존나싫어
-
질문받아용 15 1
넹
-
-
추카좀... 10 8
찐따라 친구 없음요
-
한시 오분 8 0
검치
-
질문 받아양 18 0
아무거나
-
6년만에 다시 공부라는 걸 제대로 해보는데(사실 9년만일수도...) 오늘 퇴근하고...
-
D-4 2 0
어 형은 이만 가볼게
-
20대중 패드없는 비율 3 0
얼마나될까
-
갑자기 연뱃이많아보이는데 7 1
그런거같은느낌 연대의 시대가 오는거니?
-
실제 경험담임
-
사탐평화우정(舊설표)<~~~~~~~~~얘 오늘 생일임 45 20
오르비 여러분 사랑합니다
-
영어 7~10% 0 0
근데 이거 왜 안지킬거같지
-
하루에 세네지문씩 ㅊ푸는게 맞나 리트 기출 매일 풀면서 할 에 2-3시간정돈 국어...
-
아이디어 내는데 세시간 해설쓰는데 한시간반 그러다 오류나서 고치는데 두시간 4 1
하씨발 능률 개떨어지노
-
시립대 공대로 전과ㅠㅠ 3 1
잘 아시는분 계실까요ㅠㅠ 정경대학에서 기계정보공으로 전과 원하는데 물및실 수강신청...
-
화1러들만 들어와봐 3 3
당당히 원점수 50받을거면 개추 ㅋㅋ
-
흐엥ㅇ.... 4 0
무신사 세일 끝나기전 59분에 샀는데 애프터세일 머징..
-
수학 92~96 0 0
100..이면 좋겠다만 그건 너무 멀어보여서 일단은 저정도가 목푠데 어떤 느낌으로...
신고했어요이게 진짜 재밋는 거거든요
바로 스크랩
통매음으로 고소했어요야하긴 해 이게
님 팔로잉 29998됨
눈버렷다
띠발
마지막만이해함
아니 또 어디로갓어