이왕 재탕하는 김에
게시글 주소: https://orbi.kr/00074704975
전 글의 숫자들은 다음 공식에서 나옴
τ(d)는 d의 약수의 개수,
전 글의 숫자들은 여기 n에 24를 넣은거임
이 공식 증명 중에 하나를 소개하기 위해
1. 곱셈함수
1-1, 곱셈함수 정의
첫번쨰로 정수론 함수, 이건 간단한건데 정의역이 자연수면 정수론 함수임
정수론 함수중에는 곱셈함수라는 것들이 잇음
이건 머냐, 아래 명제를 만족하면 됨
x,y가 서로소일 때, f(xy)=f(x)f(y)
예시로는 약수의 개수, 약수의 합, 자신 이하의 서로소인 수의 개수 (오일러 피 함수) 등이 유명하고
f(x)=x^n도 당연히 곱셈함수, 르장드르 심볼도 곱셈함수임 (얘네 둘은 완전곱셈함수(x,y가 서로소가 아니여도됨))
f, g가 곱셈함수일 때, f*g가 곱셈함수임도 자명
1-2, 곱셈함수 << 왜 필요한가
이런거 찾아서 어따 쓰냐 할 수 잇는데
보통 정수론 함수들의 함숫값을 알아낼 때, 소수의 지수 꼴의 함숫값, 즉 f(p^e) 등의 꼴은 상당히 찾기가 쉬움
예를 들어, 약수의 개수만 봐도 τ(p^e)=e+1임을 누구나 알 수 잇음
그런데 첫째로 모든 소수의 지수 꼴들은 소수만 다르면, 서로소이고,
둘째로 모든 자연수는 유일하게 소인수분해가 가능함 (산술의 기본 정리)
따라서, 우리는 소수의 지수 꼴 함숫값을 알고, 곱셈함수임을 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다는 뜻,
ex) τ(n)=τ(p1^e1*p2^e2*...*pt^et)=(e1+1)(e2+1)...(et+1) 이런 식으로,
조금 더 생각하면 이런 생각도 가능, > 완전곱셈함수를 정의하는 이유는?
>> 소수에서의 함숫값만 알면, 모든 자연수에 대한 함숫값을 알 수 잇다.
2. 합함수
2-1. 합함수의 정의
f(n)이라는 정수론 함수가 잇을 때 다음, F(n)을 합함수라고 부름
또 간단한 예시
τ(n)은 n의 약수마다 1을 더한거이므로, 합함수라고 볼 수 잇음
2-2. 합함수 성질
합함수의 중요한 성질은,
f(n)이 곱셈함수이면, F(n)도 곱셈함수라는 거임
이 명제의 증명은 꽤나 어려운데 증명의 핵심은
x,y가 서로소일 때, xy의 약수는 x의 약수 a, y의 약수 b의 곱으로 유일하게 표현된다는 거임.
이 때, a와 b가 서로소임은 매우 자명함
근데 이거 아이디어는 진짜 어려운거라, 그냥 식 순서만 쓰겟음 식 따라가면서 ㅇㅇ 그렇구나 하면댐
(아이디어가 어려운거지 과정 이해하는건 안 어려움)
서로소인 x,y에 대해
마지막 식이 이해 안 갈 수 잇는데, 숫자 대충 넣고 써보다 보면 이해가 갈꺼임..
3. 맨 위의 식 증명
τ(n)이 곱셈함수이기 때문에, τ(n)^3도 곱셈함수고, 그 합함수도 곱셈함수고, 합함수 제곱한것도 곱셈함수임
>> p^e일 때만 증명하면 오카이다 (왜냐면 이 때 같으면 곱해서 만든것도 같을꺼잖음)
쨋든 그래서 p^e 넣어보면
1^3+2^3+3^3+...+(e+1)^3=(1+2+...+(e+1))^2 나오는데, 모두가 다 아는 그 식임
(그래서 보면, 이 항등식의 일반화가 맨 위의 식임을 알 수 잇음, 일반화된 공식을 자기자신으로 증명하는 점이 재밋음)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
댓 안 달리기에 모밴당한줄 0 0
-
음악이 좋으니까 들어보세요
-
근본이 수험생 커뮤인 오르비가 부활하려고 택한 방법 0 0
자기 저자 강사 보호하기 위해 커뮤 통제 ㅋㅋ
-
ㅎㅎㅎㅎㅠㅠ
-
젖지야 이거 보고있으면 0 3
당장 김유식한테 전화나 걸어라 어떤 사이트 회원을 뒷담하는 사이트가 있는게 말이되냐
-
-
역시 최고의 해결책은 문제를 해결하는 게 아니라 문제를 제기한 사람을 없애는 건가 0 2
커뮤니티 운영진이 마음에 안 드는 글이나 유저를 그냥 '산화'시키고, 자기 회사...
-
5섶 5덮같은 시험지가 확실히 0 0
미적기하 선택차이 체감이 큰 듯 5섶기하 20분컷 내버리니까 준킬밭 시험지여도 막...
-
수2 자작 0 0
-
그럴거야 아마
-
지우개 꼬라지 2 1
지우개인데 지우지를 못하니
-
Free 부엉이 0 0
#free붱모
-
축제 너무 시끄러움 0 0
내일은 홍대가야겠다 하루종일 기숙사에서 저딴거 듣다가 미칠듯
-
몰반수생 6모 식사 어케해요? 1 0
점심으로 뭐 먹을지 고민중 ㅠ 학교에서 시험보는데 도시락도 없어서 고민이네요
-
헐 0 3
오르비는 학습 및 입시 정보의 원활한 교류와 건전한 커뮤니티 문화 조성을 위해...
-
서프의 존재를 얼마전에 알았네요 어떤게 더 좋은가요???
-
부엉이 산화는 진짜 ㅋㅋㅋㅋ 2 2
ㄹㅈㄷ다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㄴㅋ
-
오르비에 학습자료 풀어주는 1 4
유저들은 다 날리고 이제 충신만 남기면 결론은...
-
(Re) 27년 ALL-Back 세계사 무료 배포 1 2
0많이 기다려주셔서 감사합니다! 수능 대비겸 6모 대비입니다! 좋은 문제로 선별하고...
-
Kfc>맘스터치>=버거킹 > 그 외 유사버거 ㄹㅇ
-
폴라리스 표지가 참 이쁨 2 2
난이도는 살벌하긴 한데
-
수능에 나온걸 공부하지 말라고 하면 사람들이 당연히 발작을 일으키지 않겠음? 7 5
걍 가만히 있으면 되는데 왜 자기 혼자 똥볼을 차는거임 진짜모름
-
부엉이 산화는 ㅅㅂㅋㅋ 7 5
자기 무덤파네 오르비
-
부엉이님의 장례식입니다. 2 2
할말은 하고 가셨네요 오르비도 이제 슬슬 끝물인가 봅니다.
-
수학 시험지빨 미쳤네 1 1
김기현 파데 킥오프 끝내고 기출 처음풀어보는데 26수능은 1~13, 20번까지...
-
https://www.lawtimes.co.kr/news/articleView.htm...
-
어차피 의미 없지만
-
커뮤니티가 애초에 본인 생각, 의견 말하고 공유하는 곳 아닌가 소신을 말해도 내리고...
-
오 0 0
내가 되다니 체험단분들 귀찮아서 안썼나보구만 흠
-
안녕하세요 2 0
감사합니다
-
기출 분석 밀린거랑 오답 밀린거(서프,더프,실모,브릿지두회차,엔제세권...
-
선택과목 질‘문 6 1
안녕하세요 내년에 고딩되는 잼민이입니다 제주변 고등학교는 제2외랑 정보중에 택할수...
-
쌩쌩쌩노베 현실적인 목표를 어디로 잡아야 되나요? 1 0
언매 확통 영어 사탐순으로 현재 성적 17311 수학 영어 한번도 공부 안 해 본...
-
고2인데 브크 들어도 됨? 0 0
ㅈ반고 수시러고 모고 1~2 나오는데 이원준 쌤 듣고싶어서요 (비문학 많이 약함 +...
-
지금까지는 칼춤 춰도 운영자 입장에서 보면 어느정도 이해가 되는 이유가 있었으니...
-
지구과학 쿨 돌앗는데 10 1
올해도 불 지르려나
-
혼란을 틈타 2 2
제 아내들 보고 가세요
-
난이도는 좀 어려워지긴했는데 할만하긴함.
-
덮 인증 2 1
대학 라인 작수보다 사아알짝 높아짐 국어만 팠더니 수학이 떨어져서;; 수학만 올리면 될듯
-
강기분 언매 해야할까요 1 0
언매는 이미 공부했었는데 최근에 안해서 조금 가물가물해진 것 같습니다 강기분언매로...
-
절대로 26수능 기출문제를 풀어봐야한다고 말해서는 안돼!! 3 4
안돼!!!!
-
강사가 여조교한테 12 4
새벽에 연락해서 자기 바쁘니 이것좀해달라하고 일시키고 시급쳐주는게아니라 오마카세...
-
-
누가죽은거임 3 1
모름
-
예쁘죠 7 1
제 여친임
-
근데 오르비 여기 본인 회사 소속 강사 이성적인 비판해도 내려가고~ 컨설팅 업체가...
-
엌ㅋㅋㅋㅋ 0 0
걍 상황이 잼컨이네
-
별사탕건빵 글삭당했네 3 1
헤에
-
작수 수학 3등급 반수생 지금 뭐 해야할까요.. 0 0
학업 병행 반수라서 일단 기말 끝나고 본격적으로 시작할 것 같은데 뭐 하는게...
-
독서 깨달은 점 1 1
강사말대로 풀면 절대 시간안에 못품. 내 ㅈ대로 해야됨.
신고했어요이게 진짜 재밋는 거거든요
바로 스크랩
통매음으로 고소했어요야하긴 해 이게
님 팔로잉 29998됨
눈버렷다
띠발
마지막만이해함
아니 또 어디로갓어