수학 소소한 Tip(인수정리의 확장)
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일반적으로 다항함수는 자신이 가질 수 있는 근(실근 아님 허 근까지 포함)의 개수만큼 함숫값이 존재한다면 인수정리(?) 꼴로 표현할 수 있다.
다음은 그 예시입니다.(최고차는 1로 고정해서 보도록 하자.)
[특수] 1. f는 이차, f(0)=2, f(2)=2
-> 곧, f(x) = x(x-2)+2
[일반] 2. f는 이차, f(0)=4, f(2)=-2
-> 곧, f(x) = x(x-2)-3x+4
[특수] 3. f는 삼차, f(0)=0, f(2)=2, f(6)=6
-> 곧, f(x) = x(x-2)(x-6)+x
[일반] 4. f는 삼차, f(0)=12, f(3)=3, f(5)=7
-> 곧, f(x) = x(x-3)(x-5)+{x(x-6)+12}
(만일 이 구조로부터 0~3까지의 정적분값을 구한다면 앞의 삼차식은 대칭적분으로, 뒤의 이차식은 넓이공식으로 처리할 수 있어요!)
어이쿠 실수로 지워버려서 다시 올림... 무튼 덕코 2배로 버니깐 개이득(?)인 것이에요.(최고차 바뀌면 앞의 식에만 적용됩니다. 또한 마지막 케이스같은 처리법은 적분계산에서 편리해지는 경우도 있어서 쓸만해여)
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이거의 일반형이 n차 + n-1차 구조라고 보면 되여. 저 구조 자체가 최고차 계수와 무관하게 항등식 구조임.
약간 부연설명을 하자면, 저렇게 변형하는 구조 자체는
원래 정해진 함수 f가 너무 거지같으니, f를 적당히 인수단위로 쪼개어 작성하고, 나머지 자투리를 뒤에 쓰는 느낌..?
직선 차함수
고1 내신때 유용함
이거 ㄹㅇ 좋음
특히 적분 계산 개가튼거 이거랑 대칭적분으로 털어내면 진짜 속이 뻥 뚫림여
최고차항이 바뀌면 앞에 식에만 적용된다는게 최고차항이 4면 특수 4번 같은 경우에 4x(x-3)(x-5)+{x(x-6)+12} 인가요?
넹, 이해할 때에는 최고차항이 n차일 때, 저렇게 쪼개어 정리한 식은 (n차) + (n-1차)의 구조니까 앞쪽만 바뀐다!고 생각하시면 되여지금 저 위에 쓰인 논리 자체가
주어진 값조건들로 n차식은 정리할 수 없지만(미지수가 1개 남아서) n-1차식은 정리할 수 있다.를 이용한거라, 최고차 계수가 바뀌더라도 뒤의 식은 이미 함숫값들에 의해 '고정'되었다 생각하셔도 되고용
알려주셔서 감사합니당