로피탈 써도 되나요?
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난 로피탈 쓰는게 맞다고 봄
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정의만 정확하게 알고 쓰면 굳
미계정의 사용하는게 어려울수록 더 잘풂
쉬운문제는 어차피 로피탈쓰나 미계정의쓰나 차이없고..
테일러급수랑 섞어쓰거나
0인자의 개수로 사이즈 봐가면서 계산줄이기 용도로 유용한듯
자제해야 한다고 봄
비유하자면 수열 무지성 나열, 추론문제 케이스찍기 난사랑 비슷 실력이 느는걸 가로막음
작년까지 무지성 로피탈 테일러 근사 남발하다가
극한 교과개념의 규칙으로 엄밀하게 논리적으로 푸는연습 하면서 기초공사 다시했더니 극한계산에 대한 이해나 실력이 전이랑 비교도 안되게 늚
차수논리도 독학으로 깨달았고 별 쓸모 없지만 테일러근사 교과내로 설명하는 방법도 깨달았고 260628 극한계산처럼 사실상 극한으로 풀지 말라고 낸것도 로피탈 없이 순수 교과서 규칙으로 풀 수 있게 됐음
극한을 위에서 내려다보면서 안정감 있게 풀 수 있게 된게 정말 큼
근데 솔직히 로피탈 쓴다고 해봐야
내림차순으로 정리후 인수분해하는과정 생략,차수논리로 넘길지 이계미분 등등 사이즈 잴때
태일러급수꼴로 정리된 함수+기울기의 극한
이거 쓰는거랑 미분계수의 정의로만 푸는거랑
자잘한 계산때문에 걸리는시간이 2배정도 차이난다 말고는
문제에서 크리티컬한 지점 구하는 부분은 풀이가 같지 않음?
극한을 계산/해석한 결과가 같은거지 과정은 많이 다름
로피탈,테일러급수의 문제점은 크게 2가지가 있는데
1. 모든 유형에 통용되는 해법이라 유형별로 특수성을 포착하기 힘듦 -> 극한을 보는 눈의 해상도를 높이기 어려움
해상도가 높으면 어떻게 들어갈지에 대해 판단할게 거의 없음 해보지 않아도 어케 흘러갈지 거시적인 흐름이나 결과를 이미 알고 있으니까..
2. 극한계산의 기저에 있는 기본적인 연산 규칙과의 단절
대부분의 수험생들은 sinx를 x, 또는 x-x³/6 등등으로 근사해서 풀어도 된다는걸 알고 있지만 그 '근사해도 똑같은 이유'를 분명하게 연산법칙에 의거해서 설명을 못함
수학에 "그냥" 성립하는 공식이나 정리는 없음 그게 성립하는 이유는 마치 프로그램이 그렇게 작동하는 이유가 미시적인 기저에 그렇게 작동하도록 설계되어 있기 때문인 것처럼 그 정리의 기저를 이루는 전제, 규칙들에 이유가 있음
sinx를 x로 근사해도 똑같은 이유는 sinx/x의 극한이 1로 수렴하고, 수렴하는 인수는 미리 수렴시킬 수 있고, 따라서 sinx에 x를 나누고 곱하면 결국 x만 남기 때문임
어차피 결과는 똑같은거 아님? 이거 아는게 뭐가 중요함? 이라고 물으면, 수학개념의 층위(기본 정리 -> 고급 정리 -> 그보다 더 고급의 정리 ->...)에 대한 이해가 서로 단절되어 있지 않고 유기적으로 연결돼있으면, 응용과 확장이 쉬움
(1000글자 제한...)
예를들어 앞서 설명한 sinx와 x의 관계를 터득하고 나면 , 한발 더 나아가서 결국 나눠서 1로 수렴하게 하는 인수가 뭔지가 중요하네 라는 아이디어를 바탕으로 엄청나게 많은 확장이 가능함. 차수논리가 바로 이걸 바탕으로 'xⁿ으로 나눠서 0이 아닌 값으로 수렴할 때 그 n의 값을 인수의 차수로 간주하자'는 논리고, 반대로 x를 sinx로 바꿔서(나누고 곱해서) 계산을 편하게 만드는 응용도 시도할 수 있음. 250630을 tan(an+1 - an)이 아니라 난이도를 더 높이려고 an+1 - an - pi 로 냈다면 훨씬 어려웠을 텐데, 이렇게 냈더라면 tan(an+1 - an)를 나누고 곱해서 훨씬 쉽게 풀 수 있음. 그리고 이런 응용도 시도해볼 수 있음. 나눴을때 1로 수렴하는게 중요하다면 sinx = x + f(x) (f(x)/x=0으로 수렴)로 쓸 수 있지 않을까? -> f(x) = sinx - x가 나누었을때 1로 수렴하는 인수는 뭐지? -> - x³/6이라는걸 깨달았다면 sinx = x - x³/6 + g(x) (g(x)/x³=0으로 수렴) 이렇게 쓸 수 있고 더 확장하면 테일러 급수의 교과서 버전까지 이어질 수 있음. 230622를 유리화를 안 하고 푸는 방법도 여기서 터득할 수 있고, 정말 무궁한 응용과 확장이 가능한데 로피탈, 테일러근사를 스킬로서 무분별하게 쓰게되면 이런 개념의 유기적 이해를 등한시하게 되고 실력이 오르는데에 정체가 생김
그래서 극한 관련한 스킬은 최대한 조심해서 써야 한다고 생각함