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자궁 [1048719] · MS 2021 · 쪽지

2025-08-28 09:30:41
조회수 852

님들 이거 엄밀하지 못하나요?(260628)

게시글 주소: https://orbi.kr/00074468238


260628 풀이 (항등식은 양변의 성질을 공유한다)


근사 논리(인수 논리, 차수 논리)를 이용하여 푸는 문제입니다. 항등식 우변의 초월함수는 특정 점 근방에서 다항함수로 근사할 수 있고, 그렇게 만들어진 다항식에서 임의의 일차함수 ax+b를 뺐을 때 좌변의 (x⁵+x³)∘f(x)와 같은 성질을 공유함을 이용해 풀 수 있습니다.


사잇값 정리를 이용하면, 열린구간 (-3, 3)에 위치한 적절한 상수 α에 대해 f(α)=0이 성립하기 때문에, ln(x²+x+5/2)-(ax+b)를 α에 대해 테일러 급수 전개한다고 가정했을 때, 상수항, 일차항, 이차항이 모두 0입니다. ln(x²+x+5/2)에서 이차항의 계수가 0임이 확정되고, 적당한 ax+b가 존재하여 상수항과 일차항을 상쇄해주는 구조입니다.


그래프의 관점으로 볼까요? 함수가 삼중근을 갖는다는 것은 변곡접선이 x축과 일치한다는 것을 의미합니다. ln(x²+x+5/2)의 도함수의 극점은 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 (x+1/2)가 ±(3/2)일 때, 즉 x=1이거나 x=-2일 때인데, 항등식의 좌변에서 겉함수는 일대일 대응인 증가함수이므로 그래프의 개형을 생각해본다면 α=-2임을 알 수 있습니다. x=-2일 때의 접선의 방정식은 y=(-2/3)(x+2)+ln(9/2)이므로 a=(-2/3), b=(-4/3)+ln(9/2)이라서 구하고자 하는 a×e^(b)는 (-3)×e^(-4/3), 정답은 1번입니다.



이렇게 글을 썼는데 왠지 찝찝함... 뭔가 외줄타기를 하듯이 논리가 위태로운 거 같음...

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자궁 [1048719]

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