우일신 30번을 베르누이 미분방정식으로 풀어보자

Question

n*10분 박고도 못 풀었다는 후기가 많았던 우일신 모고 30번.

대체 얼마나 어렵길래? 하는 생각으로 문제를 보았다.

시발.

지금껏 푼 실모가 몇백개지만 저따구로 생긴 항등식은 처음 보았다.

고민에 고민을 거듭하다가..

문득 한 생각이 스쳐 지나갔다.

"이거 베르누이 미분방정식이랑 형태가 비슷한데..??"

그렇다. 공학수학 1 예습을 위해 무지성 예제 뺑뺑이를 돌리던 필자의 눈에는 저 항등식이 미분방정식으로 보여버렸던 것이다.

그러면 대체 베르누이 미분방정식이 뭐냐?는 질문에 답하기 위해서는 우선 미분방정식이 무엇인지부터 짚고 넘어가야 한다.

매우 간략히 설명하자면 미분방정식은 $eS15Jz0y$ 와 같이 미지의 함수와 그 함수의 도함수들로 이루어져 있는 방정식이다. 그리고 우리의 목적은 $eQ==$ 의 함수식을 찾는 것이다.

예를 들어, $eT15Jw==$ 라는 미분방정식을 생각해 보자. 이때 이 방정식의 일반해는 $eT1jZV54$ 가 되며, 이때 추가적인 조건 ( $eSgwKT0z$ 과 같은) 이 주어지면 상수를 특정할 수 있는데, 이때의 해를 특수해라고 한다.

미분방정식에는 여러 형태가 있는데, 각 형태마다 이미 최적화된 풀이법이 존재한다.

오늘 우리가 잠깐 응용할 '베르누이 미분방정식'은 비선형 1계 ODE에 해당되며, 이는 선형 1계 ODE로 고쳐서 쉽게 해결할 수 있다.

선형 1계 ODE는 $eScrcCh4KXk9cSh4KQ==$ 꼴의 미분방정식이라고 생각하면 된다.

그렇다면 이제 문제의 항등식을 보자. $Zih4KT15$ 라고 두면,

$eSh5LXknKT1jb3N4LTJzaW54LTM=$ 인 미분방정식으로 볼 수 있다.

이때 양변을 $eQ==$ 로 나누어 $eS15Jz0oY29zeC0yc2lueC0zKXleey0xfQ==$ 로 만들면 이게 바로 베르누이 미분방정식의 형태이다.

우선 해당 방정식을 선형 미분방정식으로 만들어주기 위해 $dT15XjI=$ 으로 치환하자. 두 변수 모두 $eA==$ 에 종속되어 있으므로 양변을 $eA==$ 에 대해 미분해주면 $dSc9Mnl5Jw==$ 이 된다.

$eS15Jz0oY29zeC0yc2lueC0zKXleey0xfQ==$ 에서 양변에 $Mnk=$ 를 곱해주면

$MnleMi0yeXknPTJ1LXUnPTIoY29zeC0yc2lueC0zKQ==$ 가 되어 $dQ==$ 에 대한 선형 미분방정식이 된 걸 볼 수 있다.

한편, $eScrcCh4KXk9cSh4KQ==$ 꼴의 미분방정식의 해는 조금 복잡하지만

$eT1lXnstIFxpbnQgcCh4KSBkeH0oxQ5xKHgpZV57yRpkeH0gZHgrYyk=$

로 나타나는데, 이는 우리 미적이들 수준에서는 충분히 계산 가능한 형태이므로 계속 진행해보겠다.

우리가 얻은 $dQ==$ 에 대한 선형 미분방정식을 보기 좋게 정리해주면

$dSctMnU9LTIoY29zeC0yc2lueC0zKQ==$

가 되고, 이때 $cCh4KT0tMiwgccQJNHNpbngtMmNvc3grNg==$ 이다.

공식에 그대로 대입해주면!!

$dT1lXnsyeH0oXGludCAoNHNpbngtMmNvc3grNillXnstMnh9IGR4ICtjKQ==$

가 되며, 이를 계산하면

$dT1jZV57Mnh9LTJzaW54LTM=$ 이다.

처음에 $dT15XjI=$ 으로 치환했으므로 $eV4yPWNlXnsyeH0tMnNpbngtMw==$ 으로 다시 적을 수 있고,

문제에서 주어진 $eSgwKT0x$ 조건을 이용해 $Yz00$ 로 특정 지을 수 있다.

최종적으로 구하는 적분값은

$XGZyYWMgezF9ezJ9IChce2YoIMcTXHBpxBUpXH1eMi3EGTDFCyk=$

이므로, 아예 구해버린 함수식에다 각각 pi/2와 0을 대입하여 계산하면

$XGZyYWMgezF9ezJ9ICg0ZV57XHBpfS01LTEpPTLIDjM=$

으로 재미있고 신기하게 답을 구할 수 있다! ^0^

첫 줄글이라 가독성이 매우 떨어질 수 있으니 양해 부탁드립니다ㅠㅠ

오류 정정 댓글은 언제나 환영입니다!

무브링 · Accepted Answer

미적분안하는 나..☠️☠️☠️

미적분하는 쌍사 · Answer

수능에 나왔으면 난리 났겠구만...

음잘알희망 · Answer

ㄷㄷ..........

응애... · Answer

오

Mn04 · Answer

약대 1학년 1학기 때 저걸 배운다는 사실

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