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github [1012039] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2025-08-18 05:58:10
조회수 1,113

우일신 30번을 베르누이 미분방정식으로 풀어보자

게시글 주소: https://orbi.kr/00074349687

n*10분 박고도 못 풀었다는 후기가 많았던 우일신 모고 30번. 

대체 얼마나 어렵길래? 하는 생각으로 문제를 보았다.

시발.

지금껏 푼 실모가 몇백개지만 저따구로 생긴 항등식은 처음 보았다.


고민에 고민을 거듭하다가..


문득 한 생각이 스쳐 지나갔다.


"이거 베르누이 미분방정식이랑 형태가 비슷한데..??"


그렇다. 공학수학 1 예습을 위해 무지성 예제 뺑뺑이를 돌리던 필자의 눈에는 저 항등식이 미분방정식으로 보여버렸던 것이다.


그러면 대체 베르누이 미분방정식이 뭐냐?는 질문에 답하기 위해서는 우선 미분방정식이 무엇인지부터 짚고 넘어가야 한다.


매우 간략히 설명하자면 미분방정식은  와 같이 미지의 함수와 그 함수의 도함수들로 이루어져 있는 방정식이다. 그리고 우리의 목적은  의 함수식을 찾는 것이다.


예를 들어,  라는 미분방정식을 생각해 보자. 이때 이 방정식의 일반해는  가 되며, 이때 추가적인 조건 (  과 같은) 이 주어지면 상수를 특정할 수 있는데, 이때의 해를 특수해라고 한다. 


미분방정식에는 여러 형태가 있는데, 각 형태마다 이미 최적화된 풀이법이 존재한다. 

오늘 우리가 잠깐 응용할 '베르누이 미분방정식'은 비선형 1계 ODE에 해당되며, 이는 선형 1계 ODE로 고쳐서 쉽게 해결할 수 있다. 

선형 1계 ODE는  꼴의 미분방정식이라고 생각하면 된다.


그렇다면 이제 문제의 항등식을 보자.  라고 두면,


 인 미분방정식으로 볼 수 있다.


이때 양변을  로 나누어  로 만들면 이게 바로 베르누이 미분방정식의 형태이다.


우선 해당 방정식을 선형 미분방정식으로 만들어주기 위해  으로 치환하자. 두 변수 모두 에 종속되어 있으므로 양변을  에 대해 미분해주면  이 된다. 


 에서 양변에  를 곱해주면 


 가 되어  에 대한 선형 미분방정식이 된 걸 볼 수 있다.  


한편,  꼴의 미분방정식의 해는 조금 복잡하지만



로 나타나는데, 이는 우리 미적이들 수준에서는 충분히 계산 가능한 형태이므로 계속 진행해보겠다.


우리가 얻은  에 대한 선형 미분방정식을 보기 좋게 정리해주면 



가 되고, 이때    이다.


공식에 그대로 대입해주면!!



가 되며, 이를 계산하면 


 이다. 


처음에  으로 치환했으므로  으로 다시 적을 수 있고,

문제에서 주어진  조건을 이용해  로 특정 지을 수 있다.


최종적으로 구하는 적분값은 


 


이므로, 아예 구해버린 함수식에다 각각 pi/2와 0을 대입하여 계산하면 



으로 재미있고 신기하게 답을 구할 수 있다! ^0^


첫 줄글이라 가독성이 매우 떨어질 수 있으니 양해 부탁드립니다ㅠㅠ 

오류 정정 댓글은 언제나 환영입니다!

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