수학 표점차에 대한 고찰

표점차는 선택과목별 표준점수 산출 공식이 다르기 때문에 나타난다

x가 공통과목 원점수, y가 선택과목 원점수라고 한다면, 어떤 상수 A, B, C에 대해 표준점수 산출 공식은 위와 같이 Ax + By + C로 나타낼 수 있는데, 이 공식은 어떻게 결정되는 것일까?

내가 23년에 공식 결정되는 방법에 관한 글을 몇 개 쓴 적이 있다.

근데 이 사람들이 글은 읽지도 않고 '뭔 말인지 모르겠으면 개추 ㅋㅋ' 이딴 댓글이나 달아서 작년에는 관련 글을 아예 쓰지 않았다.

하지만 올해는 표점차에 대해 다시 관심을 갖는 경우가 몇몇 보여 글을 써보고자 한다.

먼저 x의 계수 A라는 놈을 보자. x의 계수는 공통과목 표준편차에 반비례한다. 

선택과목 상관없이 모든 수학 응시한 수험생들의 공통과목 성적을 모아서 표준편차 구한 것에 반비례한다는 것이다.

즉, 평균보다는 표준편차가 중요한데, 교육청이든 평가원이든 공통과목 표준편차 같은 데이터를 하나도 안 주니까 매 시험마다 공식이 정확히 어떻게 되는지 알 수가 없다. 그래서 결국 내가 성적표 모아서 역추정하는거지만

어쨌든 이 A라는건, 공통과목 원점수 1점당 표준점수 A점이 올라가는 것이기 때문에 당연히 클수록 표준점수가 높아진다. 그렇다면 어떻게 A 값을 키울 수가 있을까?

그동안 관찰한 바에 따르면 공통과목 준킬러가 빡빡하면 A가 크게 나온다. 

평가원 모의평가 중에서는 

25학년도 6월 모평의 A값이 0.859로 가장 크게 나왔고, 

24학년도 6월 모평의 A값이 0.831로 그 다음으로 컸다.

그리고 상위권에게는 물로켓으로 여겨지지만 중위권에게는 통곡을 선사한

22수능의 A값이 0.810으로 나왔고,

24학년도 9월 모평의 A값이 0.815가 나왔다.

평가원에서 A가 0.8 넘으면 큰 편이라고 할 수 있다. 

역대 수능 중에서 A가 0.8 넘는 수능이 22수능 하나 뿐이었다.

반면에 그냥 대놓고 물로켓인 25학년도 9월 모평의 A값이 0.698로 가장 작았고

킬러 문제들은 역대급 고난도였지만 공통과목 준킬러는 다 죽여놓은 26학년도 6월 모평의 A값은 0.710으로 그 다음으로 작았다.

결국 상위권 체감 난이도보다는 중위권 체감 난이도에 따라서 A가 결정된다.

이번엔 y의 계수 B이다. 선택과목 원점수 1점당 표준점수가 B점 오른다.

앞선 A와 달리, B값은 선택과목마다 다르다. 결국 이 B라는 값이 선택과목 간 표준점수 차이를 만드는 중요한 요소라고 할 수 있다.

B값은 자신이 선택한 선택과목 그룹의 공통과목 표준편차에 비례하며, 선택과목 표준편차에 반비례한다.

그러니까 내가 미적분 선택자라고 해보자. 우리 미적분팀의 공통과목 표준편차가 클수록, 선택과목 표준편차는 작을수록 미적분 표준점수가 높게 계산된다. 그리고 위 수식에서 볼 수 있듯 A도 커야 한다.

다시 정리한다

① 공통과목 표준편차가 커야 한다

② 선택과목 표준편차는 작아야 한다

③ A가 커야 한다 (다시 말해, 공통과목에 준킬러급 이상 문제가 많이 배치되어야 한다.)

이렇게까지 정리했는데 뭔 말인지 모르겠다 댓글 달거면... 뒤로가기 눌러주시면 됩니다.

그러면 각 그룹마다 표준점수가 유리하게끔 표준편차가 나오려면 시험이 어떻게 나와야할까?

<<확률과 통계>>

여긴 그냥 수포자 모아놓은 그룹이라고 봐도 과언이 아니다. 문제가 어떻게 나와도 풀 의지가 없는 사람이 대부분이다. 이 그룹에서 3등급 이내 성적 받아내는 사람들이 오히려 예외적인 케이스다.

아무리 상위권들이 끌어올려주려고 해도 미숫가루마냥 가라앉은 수많은 허수 표본들이 떡하니 지키고 있어서 이 그룹은 기본적으로 공통과목 표준편차가 매우 작다. 확통 표점이 낮게 나오는 주된 원인이다.

만약에 공통과목이 어렵게 나온다고 해보자. 공통과목이 어려우면 그나마 있는 상위권들마저도 저 미숫가루들이랑 더 가까이 맞붙게 된다. 그러면 공통과목 표준편차가 더 작아지겠지? 

내가 아까 자신이 속한 그룹의 공통과목 표준편차가 높을수록 유리하다고 했는데, 이렇게 상위권 마저도 가라앉게 되면 표준편차 더 작아져서 확통 표점은 그냥 망한다고 보면 된다.

반면에 공통과목이 쉽다고 생각해보자. 그래도 저 미숫가루들은 저렇게 가라앉아 있겠지만 상위권들이 더 위로 도약함으로써 허수 표본과의 거리를 벌릴 수 있다. 즉, 표준편차가 커지는 것이다. 

따라서 공통과목이 쉬울수록 확통 그룹이 표점차 싸움에서 유리해진다고 추론할 수 있다.

그러면 선택과목은? 공통과목과는 반대로 선택과목 표준편차는 작아져야 한다고 했으니 선택과목은 어렵게 나와야 한다. 확통은 선택과목에서도 저렇게 미숫가루들이 가라앉아 있을 것이 분명하기 때문에 그나마 있던 상위권도 같이 끌어내려서 표준편차를 줄여야 한다.

=> 결론: 공통과목 쉽고 선택과목 어려워야

<<미적분>>

미적분은 확통에 비해 미숫가루 층이 훨씬 적다. 수학 goat들이 대부분 여기에 있고, goat까지는 아니지만 적어도 문제를 풀 의지가 있는 중위권들이 주를 이룬다.

이 그룹에서 공통과목 표준편차를 키우려면 어떻게 해야할까 고민을 해보면

22수능이나 2409처럼 상위권은 개꿀, 중위권은 통곡하는 시험일수록 유리할 것 같다. 

그러니까 킬러 없이 준킬러만 도배된 시험지일수록 유리하다는 뜻이다.

이렇게 출제된다면 상위권들은 위로 더 올라가고 중위권들은 내려 앉기 때문에 미적분 그룹 내에서 공통과목 표준편차를 올리기가 유리하다. 그리고 기본적으로 B가 A에 비례하는데, A도 이런 경향으로 출제되어야 숫자가 커지기 때문에 이래저래 공통과목 준킬러가 어려운 것이 미적분 선택자에게는 유리하다.

그렇다면 선택과목은 어떻게 내야할까? 선택과목 표준편차는 작을수록 유리하다고 했는데, 미적분 그룹 내에서 선택과목 표준편차를 줄이려면 다음과 같이 출제하면 된다.

먼저 23~26번을 대놓고 정답률 8~90%짜리 물로켓으로 낸다. 그러면 중위권이나 상위권이나 다 맞혀서 11점은 확보해놓을 수 있을것이다.

그리고 여기서 27~30번에 적어도 3개 이상 폭탄을 던져버린다. 그러면 자연스럽게 선택과목 원점수가 11~15점에 몰려서 선택과목 표준편차가 확 줄어들게 되어 미적 표점을 증폭시킬 수 있다.

사실 가장 이상적인게 이렇다는거고, 이번 6모처럼 두 문제만 정답률을 10% 미만 수준까지 끌어내려도 좋다. 사실 이 정도만 해도 19~26점에는 사람이 거의 없어지기 때문에 표준편차를 확 줄일 수 있다. 6모의 문제점은 공통과목이 아니었을까 싶다.

28~30번 정답률이 애매하면 독이 된다. 그러니까 찍맞 같은걸로 정답률 끌어올리는 짓 하면 표점차가 크게 안 나는 것이다.

=> 결론: 공통과목 준킬러 도배, 선택과목 정답률은 양 극단일수록 좋음

<<기하>>

이 그룹은 그냥 표본 자체가 편차가 크다. goat들과 미숫가루들이 공존하는 그런 과목이다. 

그래서 공통과목 표준편차가 세 그룹 중에서는 가장 클 것 같은데 아마 선택과목 표준편차도 가장 커서 그 효과가 상쇄되는 듯 하다. 그래서 일반적으로는 미적 표점을 따라잡긴 어려운 것 같다.

하지만 2306이나 2509에서 볼 수 있듯이 기하가 미적을 따라잡는 경우도 종종 볼 수 있긴 하다. 보통 미적 표점이 낮게 나올 때 기하가 어부지리로 표점 따잇하는 경우라서 미적이 표점상으로 불리한 상황에 놓이면 기하 표점 역전을 기대해볼 수 있다. 그러니까 일단 공통이 쉽고 미적도 쉬워야 한다.

선택과목의 경우에는 당연히 어렵게 나와야 한다. 쉽게 나와도 미숫가루들은 풀 생각도 없고 상위권만 만점 찍기 때문에 선택과목 표준편차가 커진다. 선택과목 표준편차를 줄이려면 역시 선택과목 문제가 어렵게 나와야 한다.

=> 결론: 공통 쉽고, 미적 쉽고, 기하 어려워야 

마지막으로 상수항 C는... 여러 종류의 평균과 표준편차가 얽혀있는 복잡한 값이다.

그냥 아래 글에 자세히 써놨으니 궁금하신 분들은 각자 읽어보시는걸로... 참고로 얘도 선택과목마다 값이 다르기 때문에 표점차에 영향을 주는 요소입니다.

https://orbi.kr/00065549017