[짧은 칼럼]241122는 논리적이면서 의외로 간단하다
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삼차함수 f(x)가 감소하는 부분 기준 적당히 왼쪽 부분(좀 더 세밀하게 나누면 변곡점 기준 왼쪽)에서 x=p라는 정수일 때 처음으로 양수가 되었다고 가정해보자.
그러나 f(p-1)=0이라 해도, f(p-2)가 무조건 음수이기 때문에 삼차함수 f(x)는 x=p에서 무조건 0 혹은 음수임.
이를 주어진 정보의 조합으로 f'(0)<0 인 사실을 안 상태에서 사용하면 세 가지 경우가 나오게 됨.
1) f(0)=0, f(a)=0 (-1=<a<0)
2) f(0)<0, f(b),f(c)=0 (0=<c-b=<1)
한편, 적당히 감소하는 부분의 오른쪽 영역에서 최초로 f(x)가 양수가 되는 정수 q를 가정하면 f(p)가 최초의 양수이므로 f(q-2)=0 이어야만 함.
다시 말해서 오른쪽에선 오히려 f(q-2)<0이면 안 된다는 것이고, x=q에서 최초로 양수인 만큼
f(q-1)=<0 임. 그러나 f(q+1)>0이 삼차함수가 오른쪽에선 증가한다는 성질에 의해 보장되는 만큼 f(q-1)=0.
자, 그러면?
2)의 경우에선 저게 성립할 수 없음. 왜냐? f(0)이 음수인데, f'(0)도 음수인 만큼 오른쪽 영역의 실근은 무조건 1개임.
즉, q가 1로 가장 작을 때조차 f(0)=0이 필요하고 그 외에 더 큰 자연수의 경우 두 실근이 필요하게 됨. 즉, 모순임.
그러나 1)의 경우, f(0)=0으로 q-1 or q-2의 역할을 해줄 수 있음.
결국 성립하는 케이스란 게
(1) -1 0 0<c<1 (이때 q=1임.)
(2) -1<b<0 0 1 (이때 q는 2임.)
둘 중 하나가 됨. 물론 -1 0 1도 있지만 너무 쉽게 지워지니까 배제. 나머진 계산만 삭삭.
그래서 하고 싶은 말은 함수 추론에 있어서 과도한 엄밀함 보다는, '적당히' 잡는다는 개념이 와닿았으면 좋겠음.
'최초로' 양수가 되는 p, q도 결국 그냥 적당히 가정한 다음에 내가 원하는 상황을 만드려고 쓴 것처럼, 때로는 좁은 부분의 섬세함을 추구하기보다 일종의 개괄적인 형태를 아는 게 더 중요하기도 하다는 거임.
아래는 위의 도식을 대충 그림으로 표현한 것.+) f(0)>0인 케이스를 고려하지 않은 이유
논리적 비판 및 질문 환영해용용
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