미분과 적분에 대한 이것저것...
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고등학교 때를 생각해 보면 ...
먼저 미분을 배우고 적분을 배웁니다.
적분이 미분의 역연산이라고 생각하게 되지만...
거친 표현으로
적분가능한 함수들의 폭이 미분가능한 함수들보다 훨씬 넓습니다.
우선 ...
적분가능한 함수는 당연히 미분가능할 필요도 없습니다
+ 연속할 필요도 없습니다.
흔히 리만(다르부) 적분의 관점에서 bounded이고 불연속점의 개수가 countable하면(자연수의 개수와 같으면) 적분가능합니다.
나아가 르벡 적분으로 적분의 개념을 확장하면 불연속점의 개수가 uncountable(실수와의 일대일 대응이 존재하는 경우에도) 적분가능합니다.
웬만하면 다 적분이 되는 것이지요.
이 아이디어에서 출발하면, 미분을 부분적분의 개념으로 정의할 수가 있습니다.
이걸 weak derivative라 부르고, 미분한 결과는 '함수'가 아닌 test function과의 적분꼴로 주어지는데 이것이 일반화한 함수, 즉 분포입니다.
이항분포, 정규분포, ... 라고 하던게 사실 이것이에요.
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