[칼럼] 171130(가) 기울기해석만 알아가기엔 아깝습니다
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문제 원본입니다. 대부분 f(x)를 (a,0) 과 (x,f(x)) 를 잇는 직선의 기울기로 해석하실 텐데, 그것만 알아가기에는 너무나도 소중한 문제입니다. 한 번 수식으로 밀어서 풀어봅시다!
f(x)는 정의역에서 미분가능하므로 부담없이 미분할 수 있습니다. f'(x)를 계산하면 g(x)/(x-a)=f(x)가 보이니, 이를 살리며 식을 정리하면 f'(α)=f'(β)=M 임을 알 수 있고, f(α)와 f(β)와 연결지어 해석하면 g(x)의 개형은 y=M(x-a) 와 α,β에서 접해야 함을 알 수 있습니다.
미분가능한 함수의 극값은 도함수의 부호변화를 통해 파악할 수 있다는 점을 고려하면, f(x)의 극값은 g'(x)(x-a)-g(x)의 부호로 조사할 수 있습니다. 부호가 변하기 위해서는 저 값이 0이긴 해야 하므로, α,β에서 조사하면 된다는 점을 알 수 있습니다. 두 값 근처에서 부호를 조사하면, 극대가 나와야 함을 알 수 있습니다. (기울기 함수를 통한 해석과 동일한 결론을 얻어낼 수 있다는 것입니다!) 저 함수가 최고차항이 -3x^4인 4차함수임을 고려하면 α와 β 사이에 극소도 존재해야 됨을 파악할 수 있고, f의 극대 극소는 3점에서 나온다는 것을 알 수 있습니다.
g(x)는 4차함수이므로 극대 극소인 x를 1개 또는 3개 갖는데(도함수인 삼차함수의 부호가 1번 또는 3번 변하므로) f보다 적게 가지므로 1개만 가져야 합니다. 즉, g'(x)의 부호변화는 1번만 나타납니다. 이제 식 한 줄이면 이 문제를 풀 수 있는데, α,β를 살려서 계산하면 쉽지 않습니다. 숫자를 대입해 마무리 지어줍시다. 일반성을 잃지 않고 라는 말은 이해가 안 되신다면 넘어가도 좋지만, 간단하게는 β-α=6루트3 이기만 하면 α가 뭐든 답에는 영향을 안 주니까 저렇게 잡았다는 의미입니다.
악명높은 가형킬러인 171130이지만, 미분가능한 함수의 극값은 도함수의 부호변화로 해석한다는 일관된 관점으로 충분히 뚫어낼 수 있습니다. 중간에 이해 안 되시는 부분 댓글 부탁드립니다. 혹시라도 오류나 엄밀하지 않거나 풀이에 대해 의문이 남으신다면 비판 부탁드립니다. 배워가겠습니다!
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