음함수 미분법에 관하여(feat. 7모 28번)

Question

여러분 안녕하세요, 샌디라고 합니다.

예전에 가입은 했는데 글 쓰는건 처음이네요 ㅋㅋ

오늘 여러분께 소개드릴 내용은 제목에서도 나와있듯이 음함수 미분법 관련이고요,

그 중에서도 얼마 전에 나온 7모 28번을 가지고 얘기드릴게요.

이번에 이 문제 정답률이 25%던데, 객관식이니까 사실상 제대로 푼 분이 많진 않다고 봐야겠죠.

실제로 해설을 보면 진짜 엄청 복잡합니다.

실전에서 저걸 다 하진 않겠지만..... 그래도 저 길이만 봐도 좀 막막해 보이죠.

근데 사실은 저것보다 훨씬 쉽게 푸는 방법이 있어요! 심지어는 그 과정에서 공통접선이란 생각조차 안 해도 돼요.

잠시 문제를 다시 볼까요?

여기서 알 수 있는 건 f'(x)=1이니, g(1)은 계산해보면 -1인 걸 쉽게 알 수 있습니다. 직관까지는 아니더라도 대입해보면 쉽게 나와요.

근데 여기서 h(t)=a라는 것에 저는 초점을 맞췄습니다.

거의 대부분 음함수 미분을 통해 저 식을 t로 표현하려 하셨을 텐데, 굳이 그럴 필요가 없어요.

h(t)=a라는 식 자체를 음함수 미분해서 h'(t)=da/dt로 만드는 게 이 풀이의 핵심입니다.

여기서 더 복잡하게 생각할 필요 없이, '두 점에서 만난다면 언젠지는 몰라도 접하겠지' 라는 생각으로 식을 세워보면 됩니다. 어차피 a도 변하는 값이고 k>=a일 때 항등식이어서 미분해도 상관이 없고요.

그럼 접할 때 식을 세워보면 이렇게 됩니다.

$XGZyYWMge2xuKC14KX17eH09dHgraCh0KQ==$

$XGZyYWMgezEtbG4oLXgpfXt4wrJ9PXQ=$

여기서 아래 식을 위에 대입하면 h(t)=a=2ln(-x)-1/x 라는 식이 니오고, 이제 1번째 식과 얘를 음함수 미분해주면 됩니다.

단, 2번째 식은 이미 미분한 거라 쓰면 안됩니다.

$XGZyYWMge2RhfXtkeH09IMcQMy0ybG4oLXgpfXt4wrJ9$

$XGZyYWN7ZHR9e2R4fT3FDiB7MS1sbigteCl9e3jCsn0gXHRpbWVzIMgdfXt4K2gnKHQpfQ==$

이때 t=1이므로 x=-1이고, 대입하면

da/dx=3, dt/dx=1/{-1+h'(1)} 가 나옵니다.

따라서 최종 답을 구하면

$XGZyYWMge2RhfXtkdH09IMwQeH0gXGRpdskUdMUUPSAtMyszaCcoMSk9xQY=$

$aCcoMSk9IFxmcmFjIHszfXsyfSwgZygxKSvOGjHEGg==$

그러므로 정답은 2번이 됩니다.

이 방법은 꽤나 많은 문제에서 적용 가능합니다. 물론 문제에 따라 정석대로 푸는 게 더 좋거나 잘 적용되지 않을 수도 있지만, h'(t) 등에서 그 식을 t로 반드시 표현해야 되는 게 아니라는 건 기억해주셨으면 해요.

음함수의 미분법 과정에서 여러 변수들을 섞어 쓰고 새로운 변수도 도입하는 것처럼, 답을 구할 때도 꼭 한 가지 변수로 표현해야 한다는 법은 없죠. 그냥 관계식 작성한 뒤 여러 변수들을 연관지어 구해도 된다는 겁니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 좋은 하루 되세요~

음잘알희망 · Accepted Answer

오오 이런관점도 잇네요 감사헤영

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