칼럼) 개형추론 문제 무조건 풀 수 밖에 없는 논리적 방법
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들어가기 전
개형추론 문항을 푸는 데 있어서 몇가지 풀이방향에 대한 지적을 하고자 합니다.
1) case 분류가 무조건 좋은 풀이인가?
a+b = 10
a-b = 4
a,b는 자연수
이 문제를 풀때 연립방정식 없이 푸는 방법은 보통 가능한 a+b = 10을 만족시키는 모든 순서쌍 (a,b)를 구하고 이후
a-b=4를 만족시키는 경우를 찾을 것입니다. 이것이 보통 학생들이 경우를 나누는 방식이죠.
그러나 다르게 접근해보겠습니다. a+b=10 을 만족시키는 a,b 아무거나 예시를 들어보겠습니다. a=8, b=2를 예시로 들 수 있겠죠. 그리고 a-b라는 식을 "차이"로 이해한다면 8-2=6에서 차이가 너무 크다는 피드백을 할 수 있습니다. 그러면 다음 예시는 7,3으로 정답 예시로 도출이 되겠죠. 이렇게 가능한 모든 경우를 꼼꼼히 구하고 정답상황에 대입하는 것보다, 적절한 예시를 들고 피드백을 하는 것이 더 좋은 풀이일 수 있습니다.
2) 무조건 특수인 상황을 찾아야 하는가?
문제풀이를 통해 보여드리겠습니다
그러면 문제를 통해 개형추론 문제를 어떻게 풀 수 있을지 적용해보겠습니다
230922
과연 이문제는 특수찍기밖에 풀이가 없고, 논리적인 풀이는 없을까요?
아닙니다.
일단 t가 나오니 g(x)를 움직이면서 이해하는 것은 자연스럽습니다. 그러면 g(x)는 x가 t보다 작을때 꺾여 올라간다 정도로 이해하면 적절하겠네요. 이후 결론부를 보면 불연속인 지점이 2개일 때의 f(8)의 값을 묻고 있습니다.
그러면 두개인 상황이 언제인지 이해해야 할것입니다.
이때 적절한 예시를 통해 이해해보죠.
최고차항의 계수가 1이고 x=3에서 극대를 갖는 f(x) 아무거나 예시를 들어볼게요 그리고 t를 움직이면서 불연속인 지점의 개수를 찾으면서 이해해보고 피드백해보겠습니다
오르비 초보라 뭔가 그림을 잘 못그리겠네요;; 그러나 이제 t를 움직이면서 g(x)의 실근의 개수를 중심으로 이해해본다면
이렇게 5개나 생깁니다. 2개보다 너무 많죠. 이때 학생입장에서 대충 얻을 수 있는 지식이 생겼습니다.
1) f(t) = 0일때, 불연속이다.
2) f'(c)=0인 c에 대하여 -f(c)+2f(t)=0이고 c<t일 때, 불연속이다.
이렇게 확실히 하는건 현장에서 힘들더라도 직관->논리적인 말로 바꾸는 시도를 하고 동치인지 확인하는 과정이 수능수학의 핵심이라고 생각합니다.
어쨌든 불연속 지점이 너무 많아요. 일단 실근이면 불연속이니까 아마도 실근은 한개여야 겠네요.
새로운 예시를 들어볼게요
실근 한개인 상황을 예시로 든 순간 극소값이 4이다를 찾는 것은 어렵지 않을 것입니다.
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논리적으로 풀때 정말 맛있는 문항이죠
이 문제 해설을 학생 풀이를 보면 심지어 강사들도 특수특수 거려서 슬플 따름입니다
"241122"
이 문제도 같은 방법으로 풀 수 있죠. 이문제 해설도 올리면 도움이 될지 모르겠네요