수학 공부의 원칙에 대하여
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* 참고해주세요
- 최대한 요점만 적느라 말투가 딱딱해 보일 수 있는데, 성격은 전혀 안 그렇습니다 ^______^
글이 너무 길어질까봐 뺀 내용이 엄청 많은데, 궁금하신 점은 편하게 댓글 달아주세요!
최대한 상세하게 답변해드릴게요. (수학과 관련 없는 내용도 좋아요)
- 사람마다 맞는 공부 스타일이 있기 때문에, 이 글이 꼭 정답은 아니라는 점!
하지만 대부분의 학생들에게 도움이 될 수 있는 원리, 혹은 정도( 定道)는 존재한다고 생각해서 최대한 적어봤어요.
- 성적 인증 없이 글 쓰면 신뢰성이 떨어질 것 같아서 첨부하는 수능 성적표…
옛날에는 국어/수학이 문/이과 나뉘어져 있었고, 영어가 상대평가였어서 요즘 성적표랑 조금 달라요! ㅎㅎ;;
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[수학 공부법]
(기본적인 개념/정의/공식은 모두 잘 알고 있고, 기본적인 연산 능력도 갖춘 상태라고 가정하고 시작.
등급으로 따지면 최소 3-4등급 이상이 해당될 듯함)
(1) 처음 개념을 배우고 진도를 나갈 때는 강의/선생님이 중요할 수도 있으나, 문제 풀이부터는 좋은 강의를 듣는다고 성적이 오르지 않음. 결국 수학은 본인이 직접 문제를 얼마나 많이 풀어보고 고민해봤느냐에 따라 실력이 달라짐.
(2) 단순히 수학 문제를 많이 푼다고 수학 실력이 느는 것이 아님.
방금 전까지 문제를 많이 풀어봐야 한다고 해놓고 무슨 소리냐고 할 수 있는데, ‘단순히 수학 문제를 푸는 것’은 내 머리 안에 있는 내용을 밖으로 꺼내는 output의 과정임. 하지만 실력이 느는 건 output이 아니라 input의 과정임. 이 input이란 문제를 풀고 채점한 이후, 즉 틀린 문제들을 체크하는 과정부터 시작됨.
[제대로 오답 체크하는 방법]
문제를 틀린 이유를 스스로 파악해야 하고, 이에 따라 오답 체크 과정도 달라야 함.
(1) 단순 실수 :
이건 말 그대로 ‘단순 실수’. 예를 들어 1을 2로 잘못 읽은 경우, 24 곱하기 5 와 같은 계산을 틀렸을 경우 등이 해당함. 이와 같은 단순 실수는 누구나 저지를 수 있으므로 한 번씩 실수한다고 너무 자책할 필요는 없다. 1번 다시 풀어보고, 가볍게 넘기면 됨! (다만 자주 반복된다면 집중력이나 태도의 문제일 가능성이 높으므로 심각하게 반성하고 경각심을 가져야 함. 어찌보면 가장 고치기 어려운 문제 중 하나임.)
(2) ‘실수’라고 착각하는 것 :
우리가 흔히 ‘단순 실수’라고 생각하고 넘어가기 쉬운 것들임. 예를 들어 sin(-270)을 계산할 때, cos x를 미분할 때 부호를 틀리는 경우 등이 해당함. (1)의 ‘단순 실수’보다는 반복될 가능성이 높은데, 이는 연습량 부족으로 인해 공식을 적용하거나 계산하는 게 아직 미숙해서 발생한다. 이는 실수가 아닌 실력 문제이므로 ‘아 그냥 실수했네’라고 넘기면 안 됨. 내가 반복적으로 실수하는 부분이 있다면 이게 뭔지 꼭 파악해야 하고, 이는 비슷한 문제들을 계속 풀다보면 해결이 됨.
(3) 문제가 어려워서 :
아주 단순함. 실력이 부족한 것이니 실력을 늘려야 함. 실력을 늘리는 오답 체크 방법은 다음과 같음.
[중요!!!! - 단, 세부 사항은 사람마다 다를 수 있음]
틀린 문제를 다시 풀 때, 절대 답지를 바로 읽어보지 말 것!!!!
문제가 잘 안 풀릴 때, 답지를 바로 통째로 읽고 ‘아 이렇게 풀면 되는구나’하고 넘기면 input은 사실상 0임.
한 문제를 푸는 데 1시간씩 걸려도 괜찮음. 시간 낭비처럼 느껴지는 그 시간이야말로 실력이 늘고 있는 시간임.
진짜 30분, 1시간이 되도록 노력해도 모르겠다면, 답지를 한 줄씩 읽기 시작할 것.
그러다가 내가 찾지 못했던 내용(=힌트)이 나오면 답지 읽는 걸 바로 중단하고, 다시 문제 푸는 과정으로 돌아가 재도전. 그래도 안 풀린다면 다음 힌트가 나올 때까지 답지를 이어서 한 줄씩 읽어볼 것.
이 과정을 반복해야 함.
정답이 나왔다면, 이번에는 답지를 참고하지 않아도 풀리는지 확인해보자.
그리고 이 문제는 꼭 별표로 표시해두고, 다른 날에 다시 풀어볼 것.
이때 만약 잘 풀린다면, 그 문제는 정말 100% 이해한 것이기 때문에 완벽히 끝났다는 표시를 해둘 것. 더 이상 안 봐도 된다. 하지만 다시 풀어봤더니 잘 안 풀리는 문제도 분명 있을 거임. 그렇다면 위의 과정을 반복하고, 별표를 하나 더 표시해둘 것. 그리고 다른 날에 또 풀어보기.
모든 문제가 완벽하게 잘 풀리는 날까지 이 과정을 계속 반복하는 것임.
글만 봐도 재미없고 지겨울 거임…
그렇기 때문에 오답 체크가 중요하다는 건 모든 쌤들이 강조하고 모든 학생들이 이미 알고 있는 사실임에도 이를 제대로 하는 학생은 거의 없음.
딱 한 번만 시도해보자.
자신이 못 풀던 문제를 이해하기 시작하면, 생각보다 재밌고 뿌듯하다.
그리고 이 재미와 뿌듯함을 알게 된 순간, 상위권-최상위권으로 가는 건 시간 문제임.
[’꾸준히’ 공부하면 실력이 늘지 않는다]
‘꾸준히’ 공부하는 건 실력이 이미 완성된 상위 1% 학생들에게 맞는 공부법, 즉 실력과 감을 유지하고자 할 때에만 해당되는 공부법임.
실력과 점수를 올리려면 ‘꾸준히’가 아니라 ‘미친 듯이 몰입’하는 시기가 꼭 필요함.
수학 실력은 y=x 와 같은 모양으로 늘지 않고, y=[x]와 같이 계단 형태로 늘게 되어있음.
다음 레벨로 빠르게 오르고 싶다면 몇 주 정도만 수학 공부에 몰입해볼 것.
’공부 몇 시간 이상’, ‘수학 문제 몇 개 이상’처럼 몰입의 기준도 구체적으로 적고 싶은데, 이건 학생의 상황이나 역량에 따라 차이가 많이 날 것 같아서… 두루뭉술한 기준이지만 ‘아 이것보다 더 열심히는 못하겠다’ 싶을 정도로 하면 됨.
(제 경우 고1,2 당시 일주일에 문제집 2개 분량 정도씩 풀었던 것 같아요)
[시험을 치르는 기술도 실력이다]
시험이란 ‘시간 제한’이 있다는 게 특징임.
‘너가 문제 몇 개를 풀 수 있는가?’를 묻는 게 아니라 ‘너가 100분 동안 문제 몇 개를 풀 수 있는가?’를 묻는 거임.
본인의 수학 실력이 여유롭게 100점 맞을 실력이 아직 아니라면, ‘내가 100분 동안 30개의 문제를 전부 풀 수는 없다’는 걸 인정하고, 시간 내에 최대한의 점수를 얻을 수 있는 수를 찾아야 함.
이건 학생마다 조금씩 차이가 있을 수는 있는데, 일단 2-3등급 이하의 학생들에게 가장 추천하는 방법은 조금 어려운 4점 문제(보통 14, 15, 21, 22, 28, 29, 30번-총 7문항)는 일단 바로 넘기고 비교적 쉬운 문제들을 먼저 풀라는 거임. 넘긴 7개 문제 빼고 나머지 문제들만 다 맞춰도 일단 72점을 먹고 시작하는 거고, 이후 남은 시간 동안 그 7개 중 2개만 풀어도 80점임.
많은 학생들이 문제를 순서대로 풀다가 14, 15, 21번 같은 거에 너무 많은 시간을 써버리거나, 막히기 시작하면서 긴장해버리고 뒤의 문제들까지 잘 못 풂.
본인이 이런 경우에 해당된다고 생각되면 문제 푸는 순서를 바꿔볼 것. 이거 하나만 바꿨는데 2등급에서 1등급 안정권까지 가는 경우도 봄.
+ 당연하지만 모의고사 연습할 때는 무조건 옆에 시계 두고 풀 것… 생각보다 이걸 안 하는 학생들이 종종 있었음.- + 평소에 100분보다는 90분 정도로 두고 연습할 것.
- + 시험장에서 문제지에 이상 없는지 확인해보라고 할 때, 가능하면 눈으로 2-3번까지는 푸는 것도 팁.
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2022처럼 난이도는아니지만 작수보다 훨어려워도 1컷 47 48 2컷38 이런식일듯 ㅇㅇ
와 만점ㄷㄷ
앗 감사합니다 ㅎㅎ 당시 문제들이 요즘 문제들보다 더 쉬웠던 것 같기도 해요
설령 그렇다 하더라도 당시의 가치는 존중받아야지요
고수분의 다음칼럼 기대하겠습니다ㅎㅎ
첫 글이었는데 응원해주셔서 감사해요!! 좋은 밤 되세요 ㅎㅎㅎ
에 근데 국어 수학을 서로다른 형으로 선택하는게 가능했나요?
이과면 국어 A형+수학 B형이었어요!
문과면 국어 B형+수학 A형
아하 감사합니다!
스크랩하고 자주 읽겠습니다.
사실 저는 올해 군 전역하고 꿈을 위해 4월말부터 진짜 전과목 노베이스상태로 공부 해오고 있습니다.
그런데 남들보다 시작한 시기도 너무 늦고, 내가 하고있는게 맞는지 물어볼 사람도 주변에 없어서
"난 늦었으니까 모든 과목을 다 꾸준히 이끌어가야해! 꾸준히만 하면 될 거야!"라고 공부해오다가 오늘 7모보고 두 달 동안 성적은 4,5등급대.
정말 매일같이 열심히 했음에도 시작했을 때 5모 성적과 피차일반이더라구요.
요즘 진짜 공부도 재미없고 포기하고 싶었는데 혼자 생각해보니 지금 저에겐 선택과 집중해야하는 게 아닌가 싶어요.
이대로 가다간 뭐하나 제대로 올려본 과목도 없이 올해가 끝날 것만 같아서 지금도 여전히 매일매일이 불안하지만
작성자님같은 공부에서 정점을 찍어보신분이 그 해답을 알려주니 조금 명확해진 것 같아요.
특히 "꾸준히 하면 성적은 오르지 않는다."라는 대목이 저에겐 너무나도 필요한 말이었습니다. 감사드립니다.
헉
제 글이 딱 한 명이라도 도움이 되면 좋겠다는 마음으로 작성해봤는데, 좋은 말씀 감사드립니다.
혹시 더 궁금하신 내용 생기시면 언제든지 댓글로 남겨주세요 ㅎㅎ
그리고 등급이 당장 잘 안 오른다고 너무 걱정마세요. 어느 순간 터지는 순간이 곧 올거에요!
감사합니다! 이제는 이게 맞나 저게 맞나 더 고민 안 하고 내일부터라도 당장 수학에만 몰입해보려합니다.
다른 과목은 진짜 최소로하던지 해서 모아니면 도 수학에 9할을 쏟아볼게요.
전과목 모두 올리면 가장 좋겠지만 지금 저에겐 한가지 역치를 넘기는 경험이 앞을 내다봤을 때 더 중요할 것 같네요.
혹시 나중에 여유가 있으시다면 또 유익한 글 남겨주실 때마다 챙겨볼게요 ㅎㅎ
답이 늦었네요!
올해 좋은 결과 있으시길 진심으로 바랍니다 ㅎㅎ
1컷에걸려서 더 올라가지 못하고 있는 사람은 어떤식으로 하는게 가장 효과적일까요? 공통 1~3틀, 미적 2~3틀 이정도에서 정체중이에요. 단순계산실수는 거의 줄였는데, 발상이 한번 잘못되면 시험 시간내에 잘 못바꾸는것 같아요.
저 같은 경우 고3 후반으로 갈수록 모의고사/수능 기출만 풀었던 것 같은데,
1. 이때 4점짜리들은 답을 맞춘 경우라도 풀이가 조금이라도 애매했다고 느껴지는 경우 해설지를 참고하고, 최적의 풀이/접근법이 무엇이었는지 꼭 고민해보시는 게 중요한 것 같습니다!
28,29,30번 같은 문제들 보면 생각보다 푸는 방법이 2개 이상 나오는 경우가 많아요. 심지어 평가원/문제집의 답지보다 더 나은 풀이 방법이 생각날 때도 꽤 있더라구요. 즉, 답이 맞았다고 해서 꼭 잘 풀었다고 볼 수는 없습니다.
-> 잘 푼 문제와 답만 맞춘 문제 구분하기
2. 모의고사 반복적으로 풀면서 시간 단축하고 검산하기
-> 제 경우 수학은 100분 안에 2번, 혹은 그 이상 풀면서 검산을 했었는데, 그래서 고1~고3 동안 계산 실수는 안 했던 것 같고 점수도 100 밑으로 잘 안 나왔었어요.
4점짜리들 잘 맞추는 것도 중요한데, 전체적으로 빨리 풀어서 검산하거나 어려운 문제에 투자할 시간을 최대한 확보하는 것도 중요합니다.
수학 문제 풀때마다 잡생각이 들어요..
특히 어려운 문제 풀때는 더 더 그런데 어떡하죠ㅠㅠ 4~5인데 어삼쉬사 공략하려고 문제 양치기 하고싶은데 계속 생각나요 못하니까 더 그런 것 같은데 퓨ㅠㅠㅠㅠ
- 예시를 들자면 어떤 잡생각이실까요?
- 수학 풀 때만 그러신가요? 국어 비문학 같은 거 풀 때는 어떠신가용
과거에 안좋았던 기억이나 부끄러운 기억들 같은 생각이 자꾸 듭니다.
국어랑 영어는 그래도 너무너무 어렵지 않은 이상 거의 잡생각을 안합니다.
혹시 우울감/무기력감 같은 것도 있으신가요?
네 ㅠㅠ 다른 여러가지 일도 있지만 가장 큰 이유는
지금 수학만 만년 4~5고
제일 투자도 많이 했는데 방법이 잘못되기도 하고
그러니까 포기하고 싶은 마음이 크네요
현재 5등급이고 9모때 3등급 받고 수능때 최종적으로 2등급을 받는 것이 목표인데,
바보같은 질문일 수 있겠으나 7~8월간 어삼쉬사 난이도 수1 수2 800문제를 풀고 복습까지 한다면 9월에 3을 받을 수 있을까요..ㅠㅠㅠㅠ
하루에 수1 20 수2 20문제 풀고 오답하는것이 최선인 것 같은데.. 더 해야할까요?
양치기를 해야한다는데 수1 20문제 풀고 모르는 것은 다시 고민+한줄씩 힌트 보듯이 공부하고
발상? 필요한 것들 한줄씩 필기하여 적고 다음날 20문제 풀기전 그전에 틀렸거나 잘못 푼것들 다시 푸는 식으로 공부할 생각인데. 혹시 이상하거나 잘못된 부분이 있다면 알려주실 수 있나요?
곧 답변 정리해서 남겨드릴게요!
일단 짧게만 답변드리면 '쉽지는 않지만 3등급 충분히 가능'/'문제 개수에 너무 신경 쓸 필요는 없음 -> 지금처럼 오답 정리하고 고민하는 것 아주 좋음'
수학공부할 때 오답을 하거나 어려운 문제에서 막힐때 자꾸 멍해지고 집중력이 급격하게 낮아지는 현상이 계속 발생하고 있는데 조언을 주실 수 있을까요 ㅠ
한 문제에 한시간씩 박는데 얻어가는게 없고.. 그런느낌입니다