칼럼) 확통 주관식 답 검증하는 법

안녕하세요. [Prime] Headmaster입니다.

확률과 통계를 공부하는 학생이라면, 아무리 공부를 하고 또 해도 해결이 되지 않을 영역이 하나 있을 것입니다: 바로 29번과 30번에 위치한 주관식 문항이죠.

과목 특성상 '단 한 개'의 빠뜨림이 오답을 만들어내고, 그럼에도 오답을 냈다는 데 있어서 전혀 티가 나지 않기에 수험생의 입장에서는 마치 정글 한복판에 놓여진 부비트랩과도 같이 느껴질 것입니다.

저 역시도 수험생일 때몇 년 전이야 이와 같은 고민을 했었고, 그에 대한 답을 한 가지 찾아냈습니다.

그리고 이 칼럼은, 제가 찾아낸 답을 여러분에게 공유를 해 드리고자 쓰게 되었습니다: 참고하시어 확통 주관식 문항 해결에 있어 큰 도움을 받을 수 있기를 바라겠습니다.

시작하기 전에, 한 가지 비유를 들겠습니다: 두 명의 사수가 같은 목표물을 향해 총을 사격한다고 합시다.

그들이 아무리 좋은 실력을 가지고 있더라도, 두 명 모두의 사격이 목표물의 한 가운데 정확하게 명중하기는 쉽지 않겠죠.

그런데 다음과 같은 상황이 발생할 확률을 생각해 봅시다: 두 명 모두의 사격이 빗나갔는데, 두 명의 사격이 빗나가서 맞은 곳이 서로 정확하게 똑같을 수 있을까요?

그럴 가능성이 0은 아니겠지만, 여전히 무시할 수 있을 정도로 매우 적은 확률이겠죠.

여기서 '사수'를 '확률과 통계 문제를 푸는 수험생'으로, '목표물'을 '정답'으로, '명중한 곳'을 '문제 풀이를 통해 내어놓은 답'으로 치환해 봅시다.

문제를 두 가지 방법으로 푸는 것은 두 명이 사격을 하는 것에 해당하고, 그렇게 해서 목표물에 사격이 명중하는 것은 성공적으로 정답을 찾아낸 것에 해당하겠죠.

그리고 두 명의 사격이 빗나가서 맞은 곳이 서로 정확하게 똑같은 것은, 두 가지 방법으로 풀었을 때 나온 잘못된 답이 똑같은 것에 해당하겠죠.

이제 제가 무슨 이야기를 하고 싶으신 건지 아시겠나요?

확률과 통계 문제를 푸는 데 있어서는 두 가지 이상의 방법(케이스 분류에 따라 달라지는)을 활용할 수 있는 경우가 대부분입니다. 그리고 그 경우에 맞춰서 문제를 풀면 각자의 답이 나오겠죠.

만약 두 방법으로 나온 답이 다르다면, 여러분은 둘 중 한 가지 방법에서 풀이를(어쩌면 두 가지 모두일 수도 있죠) 잘못 한 것이므로 문제를 다시 풀어보면 되는 것입니다.

하지만 만약 두 방법으로 나온 답이 같다면, 여러분은 매우매우 높은 확률로 그 문제에 있어 정답을 이끌어 낸 것이라고 봐도 무방합니다.

앞의 사수의 예시에서 봤듯이, 두 방법으로 나온 답이 같은데 그게 오답일 확률은 사실상 0이나 다름이 없기 때문이죠.

이제 실제 문제 풀이에서 어떻게 적용이 될 수 있는지 볼까요?

21 9평 (가), (나)형 확통 29번입니다. 공을 넣는 개수를 바탕으로 케이스를 나눠 풀 수 있는 문항이죠.

여기서 우리는 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다: 흰 공을 바탕으로 케이스를 나눠 풀고, 또 그에 더해 검은 공을 바탕으로 케이스를 나눠 풀 수 있지 않을까?

물론 전자의 풀이가 후자의 풀이에 비해 더 간결하긴 하지만, 시간이 상당히 남았다는 것을 가정했을 때 충분히 구사해 볼 만한 점검법이라 할 수 있습니다.

22 9평 확통 30번입니다. a+b+c+d=14를 (다) 조건에서 여사건을 활용하여 식을 변형해 풀 수 있는 문항이죠.

여기서 우리는 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다: 여사건을 활용해서 풀 수도 있지만, 짝수 개의 사인펜을 2명이 받는 경우/4명이 받는 경우로도 케이스를 나누어 풀 수 있지 않을까?

짝수 개의 사인펜을 1명 또는 3명이 받는 것은 불가능하므로, 2명 또는 4명으로 정사건을 통해 케이스를 나누어 풀 수 있는 것이죠.

물론, 위와 같은 방법을 활용하기 힘든 경우 역시 존재합니다.  

올해 6평 확통 30번입니다. f(2)의 값을 바탕으로 케이스를 나눠 풀 수 있는 문항이죠.

여기서 우리는 다음과 같은 생각을 할 수 있습니다: f(2)의 값이 홀수일 때를 따져 풀고, 또 그에 더해 f(2)의 값이 짝수일 때를 따져 풀 수 있지 않을까?

f(2)의 값이 홀수일 때는 정사건으로 풀고, f(2)의 값이 짝수일 때는 여사건으로 풀은 뒤에 두 답을 비교해 보는 것이죠.

하지만 여사건을 따지기 위해서는 전체 사건을 따져야 하는데, (가) 조건에 식을 넣어 보면 우리는 전체 사건을 구하기 위해서는 어차피 f(2)를 바탕으로 케이스를 나누어야 한다는 점을 알 수 있습니다.

이런 경우에서는 케이스를 두 가지 이상으로 나누는 방식 대신, 각 케이스별 경우의 수를 두 가지 이상의 방식으로 세는 방법 또한 도입할 수 있습니다.

위 문제의 경우에서는 경우의 수를 EBSi 해설처럼 중복조합을 통해 구할 수 있는 반면에, f(4)의 값을 기준으로 또 한 번 케이스를 나누어 직접 셀 수도 있습니다.

이렇게 해서 나온 답이 같은지를 확인하는 것 또한 유의미한 점검의 방법이 될 수 있겠죠?

여기까지 해서 '확통 주관식 답 검증하는 법'에 대해 알아보았습니다.

확통 주관식, 참 정복하기 어려운 영역이죠: 내가 낸 답에 전혀 확신을 가질 수 없다는 점이 특히 그러한 점을 돋보이게 합니다.

하지만 이 방법을 활용한다면, 시험장에서 여러분이 느낄 수 있는 불확실성과 불안감을 유의미하게 덜 수 있을 것이라 자신있게 말씀드릴 수 있습니다!