미분계수 질문
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빨간밑줄친 부분이 이해가안가서요..!
lim f(x)-f(n) = n
x>n x-n
f(x)-f(n)/x-n 의 극한값이 n이라는게
좌극한=우극한=n으로 극한값이 ‘존재’하고 이게 f’(n)의 정의 아닌가요 ..?
윗줄의 f’(n)이 존재하지 않는다. 를 모르겠어서
제가 뭘 잘못알고있는지 알려주실 분 계실까요 ㅜㅜ
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어 진짜 뭐지
도함수가 연속이다와 미분가능하다가 다른 이우
그건가
저 경우에도 미분계수는 존재하지 않나요?
존재하죠 당연
n에서만 함숫값이 다른 경우 f(x) + 1은 0으로 가서 극한값은 존재하지만
f(x)는 n에서 미분계수가 없는 경우인 것 같습닏다
엇 근데 그러면 이 경우에 f(x)+1/x-n의 극한값이 존재할 수 있나요..? 저는 이렇게 뚫리면 좌극한과 우극한이 발산한다고 알고있어서요 ㅜㅜ
이거는 미분불가에요
아 f(x)가 n,-1로 다가가니까 미분가능은 맞네요 주어진 식이 근데 이거랑 주어진 발문이랑은 상관없을듯?
그런데 저는 발문에서 f(x)+1/x-n의 극한값이 n으로 존재하고 분모가 0으로 가므로 분자 f(n)+1=0 따라서 f(n)=-1이고, f(x)-f(n)/x-n의 좌극한 우극한값이 같아 극한값이 존재한다면 이는 미분계수니까 f’(n)이 존재해야 한다고 생각했는데, 그러면 애초에 발문에서 f’(n)이 존재하지 않는다고 했으므로, 저 f(x)+1을 f(x)-f(n)로 변환하는 전제 자체가 잘못된 거였을까요??
x, f(x) 라는 이동하는 점이 (n,-1)로 다가갈때의 극한이기때문에 f(n) ≠ -1이어도 됨 극한값만 -1이면 ok (연속조건이 없으니) 260615 참조
그리고 위에 올린 사진 보시면 알겠지만 미분계수의 존재성이 그 '점'에서 도함수의 값을 보장하진 않습니다 도함수가 연속이라는 조건이 따로 있어야만해요
즉 발문에서 제시하는건 fx의 x=n에서의 우미계 = 좌미계 (미계가 존재하기 위해서) = n이고
물어보는건 좌미계+ 우미계 = 2n
미분계수니까 f'(n) 이 존재해야겠다고 생각 -> 이건 도함수가 연속인거랑 미분가능한거랑 착각한거
미분계수가 존재하면 f‘(n) 은 무조건 존재합니다 그게 미분계수의 정의입니다.
문제에서의 f 에 대해서
(f(x) + 1 ) / x - n의 극한값은 미분계수가 아닙니다
올린 예시를 보면 알겠지만, f가 한 점에서 불연속인 경우에는 문제에서 주어진 식이 미분계수를 나타낸다고 보장할 수 없습니다.
따라서 문제에서의 f는
연속함수 (X)
x = n 에서 미분가능 (X) -> f’(x) 존재 (X)
그렇지만
lim x —> n ( f(x) + 1) / x - n 은 n으로 존재
첨언하자면 미분계수가 존재하지만 도함수가 불연속일 수 있습니다. (= 도함수의 극한값이 존재하지 않을 수 있습니다) 그러나 이러한 성질을 갖는 함수는 매우 특수한 함수들이고, 문제에서 물어보는 조건과는 관련이 없는 내용입니다.
흠 그러네요 애초에 평균변화율의 극한이라 연속만 아니어도 미분계수는 존재하지 않는다. 가 되네요
올려주신 예시로 미분계수와의 차이를 너무나도 잘 이해했습니다!!
설명해주신 사항에서 f(x)가 x=n에서 연속이 아닐 경우라고 너무 잘 이해했는데 이제 저는 발문 자체에서,
lim x->n (f(x)+1)/x-n 의 극한값이 n으로 ‘존재’ 하므로 어쨌든 ‘수렴값’이 있는거잖아요??
그러면 지금 분모 x-n이 0이 되면 분자 f(x)+1도 0이 되어야 해서 f(n)+1=0 따라서 f(n)=-1 이라는 결론에서 어디서 제가 놓치고 있는지.. 반복된 질문 계속 드려서 죄송합니다ㅜㅜ 꼭 이해하고 넘어가고 싶어서요 ㅠㅠ
제가착각했네요 ㅋㅋㅋ
일단 주어진 식이 평균변화율의 극한이라 극한값 = -1 이고 함숫값 ≠ -1 이면 f'(n) 존재x ok
오개념 설파할뻔
더이상 답글이 안달려 새로 답니다.
f(n) = -1이 왜 잘못된 결론인가에 대해서 답변해보자면,
제가 위에서 올린 예시 사진에서도 x가 1로 갈때 f(x)의 극한값은 -1이지만, f(x)의 1에서의 함숫값은 3입니다.
이를 문제에 적용해보면
x 가 n으로 갈때 f(x) + 1이 0으로 가야하니
lim x-> n f(x) = -1 이지만
f(n) = -1임은 보장할 수 없습니다.
대부분의 문제들에서는 f가 연속함수인 경우가 많기 때문에 관성적으로 풀다가 착각하는 경우가 많습니다.
아아 그러니까 문제의 상황에서, f(x)가 x=n에서 ‘불연속인 상황’이므로 lim x->n f(x)= f(n)을 보장할 수 없고, f(n)=1이 아니므로 lim x->n f(x)+1/x-n은 말그대로 (x, f(x))에서 (n,-1)인 점으로 좌우에서 한없이 가까워져 오는것이고 그 각각의 ‘극한값’자체는 같다!라고 이해했는데 맞을까요??
네 맞습니다, x가 n으로 다가갈때 (그렇지만 x =/= n) (n, -1)와 (x, f(x))의 기울기 값으로 극한값이 수렴하겠죠.
네네 ㄱ너므 감사합니다ㅜㅜㅜ제가 가장 기본적인걸모르고있었습니다..
그러면 6모 15번은 애초에 분자가 g(x)-g(a)로 ‘함숫값’이 제시되어 이는 우극한이 존재하려면 g(a+)=g(a)이다. 라고 이해하면될까요??
네 맞습니다!
시간 써주셔서 너무 감사합니다ㅜㅜㅜㅜㅜ덕분에 완벽히 알게더ㅣㄴ거같아요 징짜진짜 감사합니다!!!