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벡터 으으
벡터 몰라도 가능
이거 무슨 기출임요?
2025 고려대 오후
으악
2번은 왜 제곱을 시킨걸까요?
그러게요 제곱 안해도 괜찮은데
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주어진 조건 정리
• O = (0,0),\quad A = A_3 = (3,3),\quad B = (5,3)
• 원 C는 중심이 B(5,3), 반지름 1인 원
• 선분 \overrightarrow{OA}를 삼등분한 점들이 A_1, A_2, 따라서:
• A_1 = \left(1,1\right),\quad A_2 = \left(2,2\right)
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3-1. |\vec{OA} + \vec{OP}|^2의 최소값
벡터 식으로 표현
|\vec{OA} + \vec{OP}|^2 = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OP}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OP}
• \vec{OA} = (3,3)
• |\vec{OA}|^2 = 3^2 + 3^2 = 18
이제 |\vec{OP}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OP} 를 최소화해야 합니다.
|\vec{OP}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OP} = |P|^2 + 6x + 6y \quad \text{(P의 좌표를 } (x,y) \text{라고 할 때)}
그러므로 우리는 다음을 최소화해야 합니다:
x^2 + y^2 + 6x + 6y = (x+3)^2 + (y+3)^2 - 18
→ 이는 (x+3, y+3) 점이 원 위에서 가장 가까운 지점이 되도록 하는 문제와 같습니다.
⸻
기하적 해석
• 즉, 점 P에서 (-3,-3)까지의 거리 최소화
• 원 중심 B = (5,3), 반지름 1
• 원 위의 점 P에서 (-3,-3)까지의 거리를 최소화하려면 그 방향으로 접선을 긋는 것이 아니라 해당 방향으로 반지름 길이만큼 나가야 최소 거리.
→ 방향벡터: \vec{v} = (-3 - 5, -3 - 3) = (-8, -6)
→ 정규화: 단위벡터
\vec{u} = \frac{(-8,-6)}{\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2}} = \frac{(-8,-6)}{10} = \left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)
→ P = B + \vec{u} \cdot r = (5,3) + (-4/5, -3/5) = \left(\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)
⸻
✅ 3-1 답:
• 최소값:
|\vec{OA} + \vec{OP}|^2 = (x+3)^2 + (y+3)^2 = \left(\frac{21}{5}+3\right)^2 + \left(\frac{12}{5}+3\right)^2 = \left(\frac{36}{5}\right)^2 + \left(\frac{27}{5}\right)^2 = \frac{1296 + 729}{25} = \frac{2025}{25} = \boxed{81}
• 점 P의 좌표는 \boxed{\left( \frac{21}{5}, \frac{12}{5} \right)}
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3-2. |\vec{A_1P} + 4\vec{A_2P} + \vec{A_3P}|^2 최소화
벡터 식 변형
|\vec{A_1P} + 4\vec{A_2P} + \vec{A_3P}|^2 = \left| (1+4+1)\vec{P} - (\vec{A_1} + 4\vec{A_2} + \vec{A_3}) \right|^2
즉, 이 벡터는 다음과 같음:
6\vec{P} - \vec{S}, \quad \text{where } \vec{S} = \vec{A_1} + 4\vec{A_2} + \vec{A_3}
\vec{A_1} = (1,1),\quad \vec{A_2} = (2,2),\quad \vec{A_3} = (3,3)
\Rightarrow \vec{S} = (1,1) + 4(2,2) + (3,3) = (12,12)
→ 따라서,
|\vec{A_1P} + 4\vec{A_2P} + \vec{A_3P}|^2 = |6\vec{P} - (12,12)|^2
= 36|(x-2, y-2)|^2
= 36[(x-2)^2 + (y-2)^2]
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기하적 해석
• 중심 B = (5,3) 반지름 1인 원 위에서 P가 이동
• (x-2)^2 + (y-2)^2 최소화: 즉, 점 (x,y)가 (2,2)에 가장 가까운 위치일 때 최소
→ 방향벡터: \vec{v} = (2 - 5, 2 - 3) = (-3, -1)
→ 단위벡터:
\vec{u} = \frac{(-3, -1)}{\sqrt{9 + 1}} = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)
→ 점 P = B + \vec{u} = (5,3) + \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)
→ \vec{P} = \left(5 - \frac{3}{\sqrt{10}}, 3 - \frac{1}{\sqrt{10}} \right)
→ \vec{P} - (2,2) = \left(3 - \frac{3}{\sqrt{10}}, 1 - \frac{1}{\sqrt{10}}\right)
→ 제곱합:
(3 - \frac{3}{\sqrt{10}})^2 + (1 - \frac{1}{\sqrt{10}})^2
= 9 - \frac{18}{\sqrt{10}} + \frac{9}{10} + 1 - \frac{2}{\sqrt{10}} + \frac{1}{10}
= 10 - \frac{20}{\sqrt{10}} + 1
= 11 - \frac{20}{\sqrt{10}} + 1 = \text{정리하면:}
→ 복잡하니, 최종 최소값 표현:
36 \cdot \left((x-2)^2 + (y-2)^2\right) = a + b\sqrt{10}
→ 앞 계산에서 거리 = 1 (반지름), 중심과 목적지 거리 = \sqrt{10}, 따라서 최단거리 = \sqrt{10} - 1
→ |P - (2,2)| = \sqrt{10} - 1 \Rightarrow \text{제곱} = 10 - 2\sqrt{10} + 1 = 11 - 2\sqrt{10}
→ 전체 최소값:
36 \cdot (11 - 2\sqrt{10}) = \boxed{396 - 72\sqrt{10}}
따라서 a = 396,\quad b = -72
→ 그런데 문제는 a + b\sqrt{10} 형태 (양수)로 요구함 ⇒ a = 396,\ b = -72
→ 순서쌍 \boxed{(396,\ -72)}
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✅ 최종 정답 요약:
3-1)
• 최소값: \boxed{81}
• 점 P 좌표: \boxed{\left( \frac{21}{5}, \frac{12}{5} \right)}
3-2)
• 최소값: \boxed{396 - 72\sqrt{10}} \Rightarrow a = 396,\ b = -72
• 순서쌍: \boxed{(396,\ -72)}
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원하거나 필요하다면 수치 근사값, 그림 설명, 또는 파라메트릭 방식으로도 설명해줄 수 있어요.
어떤 ai인데 latex \] 로 안적고 \로 적어줌? 좋은데
이게 좋은건강어.. 아니다 $$ 랑 했갈림 라텍 문법쓰고 $$ 안적는건 뭐지
(1)OA+OP=OA+OB+BP=2OM+OP
OM//OP 최소
(2) A1P+A3P=2A3P이므로
6A3P 중심뚫 최소
아 6A2P인데 오타났네요
논제(1)은 평행할때이므로 OM=k×u벡터
u벡터(1,1) 방향벡터이므로 (y-3)=(x-5) 원방에 대입 x작을때로 인수분해
전 개인적으로 고대 벡터는 24모논이 가장 좋았던것 같습니다.