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생명수 [1381183] · MS 2025 · 쪽지

2025-06-26 23:02:11
조회수 781

[칼럼] 거리곱의 기본 2탄

게시글 주소: https://orbi.kr/00073606698

거리곱을 이용하면 그래프 위의 한 점에서의 기울기를 구할 수 있어요. 다항함수 f(x)와 g(x)에 대하여 f(x)=(x-p)g(x)+q로 나타낼 수 있다고 해 볼게요. 양변에서 q를 빼고 양변을 (x-p)로 나누면 {f(x)-f(p)}÷(x-p)=g(x)이고 양변에 lim(x→p)를 씌우면 f'(p)=g(p)임을 알 수 있어요. 다시 말해 f(x)=(x-p)g(x)+q인 경우 f'(x)=g(x)라고 계산하면 돼요.


f(x)=m(x+2)x(x-1)+1인 경우, 거리곱을 이용하면 f'(1)=±|m|×3×1=3|m|이에요. f(x)의 차수가 a이고 최고차항의 계수가 m인 경우 f'(x)의 최고차항의 계수는 am이지만 거리곱을 이용하여 f'(x)를 구할 때는 m만을 곱한다는 점에 주의해야 돼요.


다항함수와 어떤 직선의 교점의 x좌표를 모두 아는 경우에도 같은 방법으로 계산할 수 있어요. 다항함수 f(x)와 g(x)에 대하여 f(x)=(x-p)g(x)+qx+r로 나타낼 수 있어요. 양변에서 pq+r를 빼고 양변을 (x-p)로 나누면 {f(x)-f(p)}÷(x-p)=g(x)+q이고 양변에 lim(x→p)를 씌우면 f'(p)=g(p)+q임을 알 수 있어요.


f(x)=m(x+2)x(x-1)+x+2인 경우, f'(0)을 구할 때는 직선 y=x+2를 기준으로 ±|m|×2×1=2|m|을 구한 뒤 y=x+2의 기울기인 1을 더해 f'(0)=2|m|+1임을 알 수 있어요. 허근이 존재하는 경우에는 거리곱을 사용하기 어려우니 식을 이용하여 계산하는 게 더 나아요.


도함수를 활용해서 거리곱을 사용할 수도 있어요. f(x)=m(x+2)2(x-1)인 경우 f'(-4)를 구할 때 식을 이용하면 f'(x)=3m(x+2)x이므로 f'(-4)=3m×(-4+2)×(-4)=3m×(-2)×(-4)=24m이고, 거리곱을 이용하면 f'(-4)=±|3m|×2×4=-24|m|이에요.


삼차함수의 비율관계를 이용하면 극점의 x좌표를 알 수 있으므로 f'(x)=3m(x+2)x라는 식을 떠올리지 않고도 거리곱을 이용해 f'(x)의 값을 구할 수 있어요. 그림은 f(x)를 나타내고 있지만 f'(x)에서 거리곱을 사용하고 있으므로 |m|이 아닌 |am|을 곱한다는 점에 주의해야 돼요.


f(x)=(x-1001)(x-1002)일 때 f(999)를 구하는 경우와 같이 절댓값이 큰 숫자들이 문제에 나온 경우 식을 이용할 때는 긴 식을 적으면서 계산해야 하는 반면 거리곱을 이용할 때는 그림에 명시적으로 보이는 거리만을 곱하기에 계산을 간소화할 수 있다는 장점이 있어요.

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