이번 6월 미적분 28번과 20240628(미적분)의 관계
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안녕하세요, 오늘 아침에 이번 6월 모의고사 28번 풀이 영상을 게시한 강윤성입니다. 제 영상에는 핵심이 다 들어있긴 하지만 그 긴 영상을 모두가 시청하지는 않을 것을 간과한 것 같아 자세한 풀이를 올리도록 하겠습니다.
먼저 24학년도 28번 문제의 풀이입니다. 핵심은 제가 강조 했 듯이 양 변이 곧 같은 식이기 때문에 특성을 공유한다 입니다. 우선 우변의 특성을 보면 겉함수를 미분 하면 그 실근의 절댓값이 모두 1보다 크기 때문에 cos{pix}만 극값에 영향을 줄 수 있습니다. 그래서 x=정수일 때만 극값입니다. 이는 우변에도 적용되죠 우변이 극값인 경우는 속함수의 함숫값이 -1이거나 속함수가 극값인 경우인데 이 때 모두 x값이 정수여야 됩니다. 겉함수의 대칭성으로 f(0) 과 f(2)의 값을 구할 수 있고 f(1)의 값은 f(1)이 -1 이 아니면 다른 x값에서 무조건 f(x)가 -1이 되어야 하는데 (사잇값 정리) 이는 0과 2 사이의 정수가 1 한개 뿐이기 때문에 우변의 특징과 일치 하지 않죠 그렇기 때문에 f(1) 의 값이 나오고 미지수 두개, 식 두개로 문제가 풀립니다. 이는 이번 미적분 28번에도 똑같이 적용됩니다
.
좌변은 우변과 항등식 관계이고 그래서 삼중근을 갖는다는 이러면 자연스럽게 나올 수 있는 결론입니다. 물론 이렇다고 두 번 미분 해서 푸는 것이 틀린 풀이는 아닙니다. 하지만 너무 결과론 적이고 그냥 답만 나오는 풀이라고 생각합니다. 그리고 여러분은 다 똑똑 하시고 수학을 어느 정도 하실 거니까 평가원은 이 전에 출제된 개념이나 주제는 다시 아무렇지 않게 출제 한다는 것을 알고 계실 겁니다. 그렇기 때문에 저는 이 유형은 더더욱 알아 두어야 된다고 생각합니다. 그리고 제가 영상에서 언급 한 것 처럼, 이를 응용해서 지금 까지는 좌변의 겉함수가 다항함수였다면 더 악랄하게 초월함수, 삼각 함수 등으로 출제 해도 이제는 두번이나 출제된 유형이기 때문에 딱히 문제 되지 않습니다. 핵심은 우변과 좌변의 성질 파악, 그리고 이를 우변과 좌변이 동시에 만족한다 입니다.
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그 풀이를 260628에 이렇게 적용할 수 있었군요!넵 제가 영상에 다 넣긴 했는데 먼가 이후 글을 보니까 아무도 끝까지 안본 느낌이더라고요..
오르비에서 유명하지 않으셔서 인 듯해요...
네 과외는 꾸준하게 했지만 사교육 시장에 이번 달에 처음 뛰어 들었고 활동도 오늘부터 시작했습니다
아 혹시 제 28번 풀이는 원래 있는 풀이인가요? 제가 가르쳤던 학생들은 저 이외에 이렇게 푼 사람 못 봤다는데 혹시나 겹칠까봐 질문드립니다
2024년도 28번 여쭤보는 겁니다!
올해는 제가 입시를 안치러서 지금 저렇게 푸는 강사가 있는지는 잘 모르겠는데
24년 당시에 인강 강사 중에 저런 풀이를 최초로 구사한 사람은 없었죠(그때 제가 모든 강사 풀이를 다 봤어요)
일부 상위권 학생(자랑하자면 저도...ㅎ)과 시대재종의 모 강사 2분 정도가 최초로 항등식 풀이를 보여줬던 걸로 기억해요
대성학원은 제가 안다녀서 모르겠고...
다만 합성함수로 생각하는 풀이는 많았어요
앗 그렇군요 제가 당시 학생들에게 6모 끝나자 마자 저 풀이를 가르쳤는데 조금 더 빨리 오르비를 시작해야 됐었군요
답변 감사합니다^^
두번 미분 풀이가 왜 결과론적인 해석인지 이유를 여쭐 수 있을까요? 저는 현장에서 계속 수식적으로 밀고 가려 했었고 제 주위 사람들도 비슷하게 그림보다는 수식으로 가는 사람들이 많았어서 왜 두 번 미분이 결과론적인 해석이라고 생각하시나요?
저는 미분가능한 함수, 연속함수 이런 언급이 나올 때 죄다 미분을 시도하고 연속 조건을 맞추는 것처럼, 이계도함수의 존재성이 언급되었기에 두 번 미분을 시도하고 이후 풀이의 방향성이 보였다면 그렇게 하는 게 맞다고 보는 입장이라서 어떤 관점의 차이가 있을지 궁금합니다!
안녕하세요^^ 제가 잠시 일을 하느라 답변 늦어진 점 사과드립니다. 우선 관점 차이가 존재할 수 있고 누구에게는 두번 미분 하는 풀이가 좋은 풀이, 누구에게는 나쁜 풀이가 될 수 있다는 점 부터 말씀드리도 싶습니다. 본문에 적은 것 처럼 결과론적인 풀이 라는 것은 제 생각이지 절대적인 사실은 아닐 수 있고요.
하지만 제가 생각하는 효율적인 풀이는 계산이 적으면서 많은 문제에 공통적으로 적용할 수 있는 풀이입니다. 미분 가능성을 예시로 들어볼까요? 미분가능한 함수의 정의는 모든 점에서 미분계수가 존재하는 함수입니다. 대부분의 경우 도함수의 연속과 미분가능성은 일치하지만 그렇지 않은 경우도 있죠. 그래서 저는 수업을 할 때 미분가능성에 대해 이미 출제된 상황(구간별로 정의된 함수, 루트 함수, 곱함수, 차함수 등등)에는 '정리'를 사용하되 새로운 상황에서는 '정의'를 사용하라고 가르칩니다. 이 '정리'는 구간별로 정의된 함수 와 차함수 외에는 도함수의 연속(도함수 양쪽 극한 비교) 보다 미분계수의 정의에 가깝고요. 그리고 실제로 계산을 해보면 미분계수의 정의를 사용하는것이 구간별로 정의된 함수 외에(얘는 도함수의 연속이 정리이자 정의입니다.)는 계산이 도함수의 연속보다 적습니다. 그렇기 때문에 사람마다 의견이 다를 수 있지만 도함수가 존재한다고 해서 미분하고 이계도함수가 존재한다고 해서 두번 미분 하는 행동은 그리 효율적이지 않다고 보고 그렇게 가르처 와서 제 풀이가 저한테는 더 자연스럽게 와닿는것 같습니다. 또 교과서에서는 도함수의 존재성을 원함수 기준으로 확인하는 방법은 있지만 이계도함수는 원함수 기준으로 확인이 불가능 하고요. 그래서 저는 두번 미분 하는 풀이가 답만 나오는 풀이이고 의미가 크진 않다고 생각합니다.
그리고 이건 진짜 개인적인 생각이어서 언급은 안하고 넘어갔는데 이계도함수가 존재한다라는 조건을 준 것은 두번 미분하라고 준 것이 아니고 0이 되는 점에서 이상한 상황이 생기는 것을 방지 할려고 준것 같습니다. 조금 더 자세히 말하면 다르부 정리를 만족 시키는 함수를 출제하기 싫었던 것 같습니다. 예를 들면 유명한 함수죠? y=x²sin(1/x) (x≠0), y=0(x=0) 얘는 도함수는 연속이 아닌데 미분 가능하거든요 하지만 또 재미있게 제곱하면 도함수가 연속이 돼요 세제곱 해도 마찬가지이고요 그러면 도함수가 존재한다 만으로는 삼중근이 확정 되지 않으니 교과서 내에서는 오류가 아니지만 대학 이상의 수학까지 보면 오류인 문제가 생길 수 있어요.
물론 시험장에서 풀이가 두번 미분 밖에 안보이면 두번 미분 해서 계산 뚫어내고 풀어야죠 맞추면 장땡이니까요. 하지만 저는 가르치는 입장이고 가르치는 입장에서는 계산으로 뚫는 풀이보다 문제의 의미를 해석하고 학생들이 놓칠 수 있는 관점을 소개하고 이를 사용할 수 있도록 하는게 맞다고 생각합니다. 제가 로그(이차) 꼴의 합성함수의 도함수를 다시 미분 안하고 산술기하평균 절대 부등식으로 바라본 것도 같은 맥락입니다.
저는 항상 '평가원 발문에 의미가 없는 것은 존재하지 않으며 상황에 따라 능동적으로 판단하되, 99퍼센트로 주어진 조건은 분명 문제를 풀 때 주요한 요소로서 작용되기에 사용해야만 한다' 이런 생각으로 공부를 하거든요.
그래서 결과론적인 해석이라는 말이 조금 의아했는데 선생님께서 바라보신 관점에선 충분히 결과론적인 풀이로 보일 수 있겠구나라는 게 납득되었습니다.
좋은 답변 감사합니다!
넵 긴 글 읽어주셔셔 감사합니다^^