둘 다 못하는 사람이 설명하는 - 과학과 수학의 공통점에 대해서

 제가 요새 철학 교수님께 왕창 깨진 일이 있었습니다. 너무 거시적이고 너무 추상적이고 너무 원대하고 야심찬 이야기를 10쪽에 불과한 학부생 수업 소논문에 다 우겨넣으려고 하니까 식겁을 하셔서 저를 말리시더군요. 하나만 하더라도 매우 강력한 주제인데 이걸 다 한꺼번에 다루려고 한다고 굉장히 놀라시면서 걱정을 많이 하시면서 저를 조언해주시던데 교수님이 애정을 가지고 여러 이야기를 해주신 것이었기에 오히려 제가 죄송스럽게 생각했습니다.

 그래서 최근에 수학에서 말하는 증명이 대체 무엇인가, 철학에서 말하는 형식논리가 강조하는 논증이 뭔가 설명이 뭔가에 대해서 깊이 생각을 하고 나름 그 답을 알아낸 것 같아서 좀 이야기를 해보겠습니다.

저는 데카르트의 '선험적 종합판단'으로서의 수학을 들고 한번 이것이 철학과 왜 비슷하고 어떻게 연관이 되어 있는지 '논증' 비슷한 것을 시도해보겠습니다. 이 분 덕분에 저는 철학과 수학이 유사하다는 것을 꽤 그럴듯 하게 설명할 수 있는 듯 합니다

https://www.goyang1.com/news/articleView.html?idxno=791

 르네 데카르트는 유명한 철학자 이전에 수학자이기도 하였으며 우리가 중학생때 배우는 좌표 평면을 통한 기하학적 이해에 큰 도움을 준 위대한 철학자입니다. 이 분은 다소 형이상학적 이야기를 하셨기에 제가 이 분의 모든 것을 다 공감하고 지지하는 것은 아니지만, 최근 과학철학 수업을 들으면서 이 분의 사상 중에서 매우 핵심이 되는 '선험'과 '판단'에 대해서 알게 된 것을 가져와보려고 합니다.

 '선험'과 '후험'이란 경험 이전과 이후를 말합니다. 제가 이 개념을 이해하는 데에도 좀 힘들었습니다만, 예컨데 선험이라는 것은 우리가 경험하기 이전에 뭔가 진리로서 존재하는 것을 말하고, 후험은 우리가 경험하고 나서야 알 수 있는 것을 말합니다. 벌써부터 머리가 아파오기 시작하죠 그럼 우리가 발견하지 않았지만 존재하던 것은 뭐라고 해야하냐는 등의 깊은 질문을 던질 수 있겠지만 필자 역량의 한계로 여기서 벌써 깊이 들어가지는 않겠습니다.

 이 세상의 지식에는 선험적인 것이 있고 후험적인 것 2가지로 나눌 수 있다고 하였습니다. 경험하기 이전에 존재하는 지식과 이후의 지식으로 나눌 수 있다는 것이죠. 아니 지식이 원래 우리가 모두 사후적으로 발견하는 것 아니냐? 라는 또 깊은 질문을 할 수 있는데 좀 간단하게 접근해봅시다. 그럼 막 신은 선험이냐 후험이냐 계시를 받아봐야지 알 수 있느냐는 질문을 받을 수도 있습니다. 다만 신에 대해서는 제가 수업에 배운 것에서는 선험 지식으로 분류된다고 합니다. 우리가 경험하기 이전에 이미 존재하셨고, 또 우리가 직접 경청을 하고 예지를 받들어서 계시를 받아봐야지 확신하는 것이 아니니까요.

 전 사실 이 부분에서부터 엄청나게 헷갈렸는데 하여튼 선험적 지식과 후험적 지식은 경험 이전과 이후를 구분합니다.

 판단에도 2종류가 있어서 총 4가지가 가능합니다. 분석판단이냐 종합판단이냐인데, 말 그대로 분석은 분석적인 지식을 말합니다. 예컨데 총각이란 결혼하지 않은 나이가 좀 있는 남성이다 라는 말은 분석판단입니다. 왜냐하면 총각이라는 말 자체에서 정의에서 분석을 하면 결혼하지 않았다는 사실이 그대로 나오기에, 이 문장은 저희에게 뭔가 새로운 깨달음이나 특별한 지식을 전수해주질 않습니다. 약간 순환논리라고 할까요, 정의를 분석적으로 설명하는 명제는 분석판단입니다.

 종합판단은 특히 데카르트가 강조한 것으로, 우리의 지식을 확장시켜주는 것입니다. 후험(경험) 종합판단을 예로 들자면, 우리가 무슨 과일을 먹기 전에는 무슨 맛인지 모르는데 직접 먹어보고 나서야 새로운 지식, 이 과일은 어떤 맛이라는 사실이 추가가 되죠. 우리의 지식의 범위가 확장되는 것이 종합판단인데, 이 세상에 많은 것들은 종합판단입니다. 저 동물이 식인 동물인지 아닌지는 직접 잡아먹히거나 잡아먹히는 모습을 보는 등의 경험을 통해서 새롭게 알려지는 사실들이죠.

 데카르트가 강조한 가장 중요한 것은 선험적 종합판단으로, 그러니까 경험하지 않았으면서도 이미 존재하는 지식인데 그게 우리의 지식을 넓혀주는 것이라고 합니다! 이게 뭐냐? 수학입니다.

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 여러분 수학이라는 체계는 우리의 경험 이전에 존재하던 이 세상의 진리라고 보는 것 같습니다 제가 이해하기로는. 예컨데 1+1=2를 우리는 경험을 할 수가 없다고 하더라구요. 왜냐하면 우리는 뭔가 사물에 대응시켜서 사과 1개 더하기 사과 1개는 사과 2개라고 알 수 있지만, 그것이 곧 1+1=2를 의미한다고 보지는 않더군요. 수학은 추상적으로 이 세계에서 존재하는 어떤 진리(실재론으로도 이어집니다)나 사실이고, 흥미롭게도 우리는 이것을 통해 스스로의 지식을 넓힐 수 있다고 합니다.

 이게 무슨 말인가 하니까 본격적으로 한번 설명을 해보겠습니다. 여러분 중학생 때 피타고라스 정리를 배우고, 지금은 다들 당연한 사실처럼 쓰고 있습니다. 그런데 제가 기억하기로는 피타고라스 정리는 최소 증명법이 17가지는 되는 것으로 알고 있는데요, 여러분 혹시 피타고라스 정리가 참이라고 듣기 전에 그 식을 보자마자 이건 사실이야! 라고 확신을 하셨었나요?

 아무도  피타고라스 정리를 보자마자 이건 당연한 사실이라고 알아내지 않았습니다 처음 알아낸 피타고라스도 여러 증명을 통해서 알아내었죠. 그럼 어떻게 알아내었냐? 증명을 하였습니다. 처음에는 각기 달라보이는 두 변의 길이의 각각의 제곱합들이, 빗변 길이의 제곱과 같다는 것을 여러가지 도형이라던지 수식을 통해서 증명을 하였습니다. 일단 수학이니까 선험적이긴 합니다 데카르트의 설명에 따르면.

 그런데 피타고라스가 그걸 증명하고 정리로 발표하기 이전과 이후를 비교할 때, 우리의 삶은 크게 달라졌습니다. 아직도 많은 일상에서 피타고라스 정리가 쓰이는데, 그게 없었거나 증명되지 않았었다면 우리의 삶은 크게 바뀌었을 것입니다 아마 부정적인 방향으로요. 얼핏 직관적으로 봐서는 피타고라스 정리가 맞다는 것을 아무도 쉽게 알 수는 없지만, 앞선 수학자 철학자들이 그걸 증명하였고 사실 달라보이지만 같은거야~ 라고 알려줬으니 마음 놓고 쓰는 것입니다.

 얼마 전에 흥미롭게도 제가 공리에 대해서 이야기를 했었죠. 이거랑도 좀 연관이 됩니다. 우리가 그러니까 감각을 하고 생각을 조금만 하고 직관을 통해서 아! 이건 사실이야! 라고 말하는 지식도 있는가 하면, 우리가 노력을 들여서 증명을 해야지 알 수 있는 사실도 이 세상에 존재하는 것을요. 데카르트는 수학은 선험적인 지식이지만, 여타 다른 선험적 지식과 다르게 우리의 지식을 넓혀주는 종합판단이라고 주장하였습니다.

우리는 피타고라스 정리를 고등학교 수학 시간에 정말 흔하게 씁니다 뭔가 도형이 나오는 순간 수선의 발을 찍어버리고 빗변을 계산하려고 덤벼들죠. 만약 피타고라스가 우리의 지식을 넓혀주지 않았더라면, 우리는 다소 신기하고 이상해보이는 빗변과 길이에 대한 제곱합 식을 이상한 눈으로 보면서 아직도 많은 부분에서 잘 모르고 넘어갔을 것입니다

https://www.geogebra.org/m/nnyscqbf

 물론 여기서 또 깊이 들어가서 1+1=2가 너무 당연하고 직관적으로 맞는데 누구는 그걸 굉장히 오랫동안 공을 들여서 증명을 하던데 그건 뭐냐... 라고 하면 저도 그것까진 정확하게 설명하기가 힘듭니다. 

 다만 제가 느낀 것이 뭐냐면, 우리가 직관적으로 당연하다고 여기는 것들이 있는가하면, 그것을 통해서 서로 조립이 되고 연관이 되어서 일련의 규칙을 통해서 상당히 복잡한 새로운 지식으로 넘어서는 것들이 수학에 특히 많다는 것입니다. 

우리는 수학에서도 정의에 초점을 두고, 뭔가 새로운 관찰이나 사실을 통해 유추를 하고 논리적으로 귀납적 추론 등을 통하여 일반화를 시도하는 등의 새로운 사실을 통해 나아갑니다. 이는 철학에서 전제를 바탕으로 논증을 통해 새로운 의미가 있는 사실로 가거나, 기존에 알고 있었지만 의미를 잘 모르던 것을 재발굴하는 등의 활동과 굉장히 유사합니다

https://orbi.kr/00073240548

 제가 어느 수학 식을 가져와서 자! 이거 좌변이랑 우변이랑 같습니다! 라고 말하는 순간 여러분은 납득 못하는 일이 훨씬 더 많을 것입니다. 얼핏 보면 간단하고 직관적으로 그럴듯해 보이는 것들도 많이 있지만, 어떤 것들은 그 해를 풀어내는 데에 엄청나게 많은 시간이 걸리는 경우도 있기 때문이죠. 심지어 선생님이 앞에서 열심히 증명을 해줬음에도 뭔가 기분이 이상해서 거부하는 경우도 있습니다.

 예컨데 1=1이다 라는 식은 너무나도 당연하고 우리에게 새로운 지식을 추가해주지 못해서 그닥 의미가 없는 것 같습니다. 그런데 반대로 당장 우리가 중학생 때 배우는 이러한 집합 공식과 법칙만 보더라도, 우리는 단지 반복 연습을 통해 숙달되었을 뿐이지 중학생 때 이것들을 보자마자 너무나도 당연한 것이라고 생각한 적이 없습니다.

개중에는 그림을 그려서 증명하려는 분들, 직관적으로 설명하려는 분들 있을텐데 ^^ 그러면 혼납니다

https://m.blog.naver.com/supermath114/10154552178

 제가 요새 수리통계학이라고 통계라는 이름을 썼지만 사실은 하루종일 증명하고 정리하는 수학 시간에 이러한 것들을 엄밀하게 증명하고 유도를 하는 것을 계속 연습을 하였습니다. 좌변에서 시작하여~ 우리가 알고 있는 공리를 활용하고~ 어떤 특정한 수식의 꼴을 만들어서 예쁘게 만들어서 그걸로 새롭게 정리를 하고~ 그런 것들을 반복하다보니 처음과는 전혀 다른 모양 모습의 독특해보이는 우변, 결과값으로 나왔네! 하는 경우가 많이 있습니다.

 당장 여러분도 보시기에 저 위의 내용들을 처음 보자마자 중학생 때 코웃음을 치면서 1=1 수준으로 당연한 것을 왜 배우냐고 불평불만을 하지 않았잖습니까. 우리가 직관적으로 딱 보자마자 납득하기는 힘듭니다. 그런데 그것을 증명을 하고 수식으로 풀어서 설명을 한 단계씩 나아가다보면 결국에는 좌변과 우변이 동일했던 것이라는 것을 알 수 있고 납득이 되는 경우가 많이 있습니다.

 이처럼 데카르트가 수학을 강조하면서 선험적 종합판단이라고 한 것이 뭐냐면, 이렇게 우리는 논리를 통해서 수학에서 정합성을 추구하면서 규칙을 기반으로 식을 전개하면 뭔가 새롭고 의미가 있는 어떠한 깨달음이나 지식으로 나아갈 수 있다고 보았기 때문입니다. 당장 저 위의 식을 통해서도 우리가 배웠고 그것을 단지 반복 숙달해서 체화했기에 당연하다는 듯이 쓸 뿐이지, 저것 자체가 당연한 것은 아닙니다. 얼핏 봐서는 달라 보이고 어떻게 좌변이 우변으로 넘어가고 증명이 될 지 예상이 안가는 것들도 많이 있습니다.

 제가 느끼기에 수학은 이러한 점에서 종합판단이 맞는 것 같습니다. 선험적으로 존재하지만, 우리가 그 증명 과정을 통해서 유추를 하고 논리적으로 결론을 도출하는 과정을 통해서 새로운 공식이나 법칙을 발견하고, 이것을 통해서 우리의 지식을 확장할 수 있다는 것입니다.

 거의 비슷한 일이 철학에서도 등장합니다.

소개를 하고 논리적으로 분석하고 개념적으로 이해하고 등등... 

https://fastercapital.com/ko/content/%EC%B2%A0%ED%95%99-%EA%B3%B5%EB%B6%80--%EC%B2%A0%ED%95%99%EC%A0%81-%EB%85%BC%EC%A6%9D-%EB%B6%84%EC%84%9D.html

 우리가 처음 수학을 할 때도 보면 항상 정의를 중심으로, 아니면 알려진 개념을 중심으로 시작을 하잖아요? 뭔가 이야기를 전개함에 있어서 그 뿌리와 밑바탕이 확실하게 모두가 이해하고 합의한 내용으로 튼튼하게 시작을 해야지 이후 전개되어서 도출된 결론이 신빙성이 있잖겠습니까.

 철학도 그 구조가 비슷하더군요. 물론 수학 같은 논증 방식이 전부인 것은 아니지만, 철학에서도 뭔가 당연한 전제 어떤 명제를 바탕으로 깔고, 특정한 상황이나 조건을 예시로 들고와서, 그 전제에 결합하여 설명을 하다보면 꽤 신선하고 새로운 개념이나 연결점으로 이어지게 됩니다.

 너무 추상적이어서 이해하기 힘들 것 같은데 쉽게 말하자면 제가 preprint에서 정리한 내용 중 하나가 '자기 복제 기전을 가진 어떤 존재는, 생명이라고 볼 수 있다 역도 성립한다' 라는 말을 철학적으로 하였습니다. 근데 여러분 자기 복제 기전이라는 말도 알고, 생명이라는 말은 좀 추상적이긴 하지만 대충 아는데 이 둘이 어떻게 연결되는지 바로 확 와닿으시고 너무 당연하십니까?(당연하면 안되요 제가 이걸로 밥 먹고 살아야 하거든요 ㅋㅋ)

 자기 복제 기전, 스스로를 복제하는 능력과 생명이 대체 무슨 상관이지? 어떻게 이 둘이 연결이 된다는 것이지? 왜 이 둘을 하나로 묶어지? 여러 의문이 드실 것입니다. 그런데 전 철학적 논증을 통해서 위에서 수학 증명과 비슷하게, 전제를 깔고 사례를 통해서 사고 실험을 하는 등의 논리적이고 정합적인 추론 과정을 거쳐서 결국 '아 결국에는 자기 복제 기전이 생명성의 필요 충분 조건이다' 라고 정리를 할 수 있습니다.

 이게 딱 우리가 방금 앞에서 본 수학적 공식과 법칙이 탄생하는 방법 아닌가요? 이미 존재하는 개념들, 이미 우리가 알고 있던 개념들이지만 이것들이 사실은 같은 것이고 서로 연결이 되어있다는 새로운 지식을 창출해낸 이 활동을 우리는 창의적 학습 또는 연구라고 부릅니다.

 얼핏 봐서는 여전히 스스로가 복제를 하는 존재가 대체 왜 생명이라는 것일까 하는 의문이 들 수 있는데 오히려 좋은 의문입니다. 의문이 들지만 결국 제 preprint에서는 이 둘이 서로 어떻게 연관이 되어 있는지 소방관 로봇의 윤리적 딜레마라던지, 오토포이시스라는 철학적 개념 등을 통해서 설명 즉 논증을 하고 있거든요.

자기 복제를 할 수 있는 우주선이 폰 노이만이 고안하였다고 해서 폰 노이만 우주선이라고 불립니다. 이 우주선은 단순한 우주선이 아닙니다 기계가 아니라 '생명' 정확히는 '인공생명체' 입니다

https://www.youtube.com/watch?v=YuG5CMZEHMQ

수학에서 쓰이는 이러한 테크닉들이 상당수가 철학에서도 자주 쓰입니다. 오죽하면 철학 교수님이 철학계의 오랜 농담인 '수학을 못하면 철학도 하지 마라' 를 소개해주시더군요

https://ghebook.blogspot.com/2020/02/euclidean-geometry.html

 결국 데카르트가 강조한 것은 선험적 종합판단, 수학처럼 우리가 경험하기 이전에 혹은 경험할 수 없는 진리가 존재하는데 그것을 통해서 이 세상에 대한 지식을 넓혀나갈 수 있다는 것이 핵심이고 수학이 그러한 맥락에서 철학자들이 하는 철학과 매우 비슷해보인다는 것입니다.

 제가 일부러 설명을 안하고 있는데, 여전히 여러분은 보통 '대체 왜 자기 복제를 하는 존재가 생명이라고 할 수 있는거지' 라고 비직관적이고 바로 확 받아들이지는 못하고 있을 것입니다. 그런데 제 설명을 다 들은 철학 교수님은 제 주장이 타당하다고 인정을 해주셨거든요. 딱 봐도 피타고라스 정리마냥, 좌변에서 우변이 바로 도출되지는 않을 것 같은데 결국 증명을 통해 서로 같다는 것이 밝혀지는 것과 동일해보이지 않습니까?

 그래서 저는 이번에 철학의 논증이라는 것을 모르는 상황에서 그냥 하고싶은 말을 왕창 하려다가 보니까, 이건 철학적 논증이 아니라는 강력한 반발을 받고 다른 학우분들의 논문 발표 내용 등을 참고하면서 과연 철학에서 요구하는 정합적인 증명, 논증 방법이 무엇인지를 좀 생각을 해봤습니다. 저도 공학도이지만 수학을 잘 못해서 이러한 내용들에 익숙하지 않았는데, 데카르트 덕분에 이 둘이 이미 거의 비슷한 것이라는 것을 알고 있었는데 선험적 종합판단의 의미를 이해하고 나니까 아~ 둘 다 우리에게 새로운 통찰과 깨달음, 이해와 지식을 주는거기에 종합판단이라고 하는거구나! 라고 이해할 수 있었습니다.

 철학자들이 하는 일이 뭐가 있겠습니까 실험을 하고 데이터를 수집하겠습니까? 경험적으로 이 세상을 분석할까요? 쉽게 말해서 있는 것들을 잘 적절히 조합하고, 재발굴하고, 재인식시키고, 재해석하여 새로운 의미를 부여하고 시대와 상황의 맥락에 따라서 달라지는 의미와 느낌을 잘 언어로 표현하는 것이 그들의 일이라고 스스로 말씀을 자주 하시더군요.

 그래서 제가 생각하기에는 수학과 철학이 서로 달라 보이긴 하지만 결국 논증을 거치면 둘이 같거나 비슷한 것이기에, 어느 하나를 잘 한다면 다른 하나도 잘 해야 한다고 생각이 들고, 어느 하나를 공부하면 다른 하나도 잘 할 수 있게 된다고 보았습니다.