[칼럼] 복소평면과 유향선분으로 고1 230629 암산하기

안녕하세요 오늘은 고1 6모 대비 겸 재미있는 복소수 문제를 가져와보았습니다. 문제는 2023학년도 고1 6모 29번 문제입니다.

아마 복소평면을 이용한 일반적인 계산 풀이는 많이 보셨을테니 복소평면과 평면벡터를 활용한 해설을 보여드리도록 하겠습니다.

우선 복소평면이 (아마) 생소하실 고1 여러분들을 위해 간단한 개념을 알려드리겠습니다.

개념1 복소평면

① 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표명면

② 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 

③ 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태이다.

즉 이렇게 복소수를 실수부(a)와 허수부(b)를 설정하여 준 후 를 평면 상에 나타내는 것입니다.

개념2 복소수의 절댓값

복소수의 절댓값은 “원점으로부터의 거리”와 같습니다.

복소수

가 존재할 때

입니다.

 추후 극좌표 변환을 할 때 의 값이 되므로 주의깊게 봐주어야합니다.

개념3 복소수의 편각(argument)

① 복소수가 시초선으로부터 이루는 각도

로 표현합니다.

개념4 복소수의 곱의 기하학적인 의미

점A를 z₁의 좌표라고 할 때 z₁z₂를 나타내는 점B는 

점A를 arg(z₂)만큼 회전시키고 그 길이를 |z₂|배 한 것의 끝 점이다.

사실 이것이 오늘의 메인 개념이라고 봐주셔도 됩니다:)

이제 한 번 문제를 보도록 하겠습니다.

고1 230629(교육청)입니다.

우선 m,n으로 분리되어있으니 각 복소수 별로 정의를 해주도록 하겠습니다.

이렇게 정의를 해준다면 문제의 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이제 복소평면을 도입해보도록 합시다.

근데 제가 알려드린 복소평면 표현법과 살짝 다르죠?

맞습니다, 오늘의 메인 주제인 유향 선분으로 해석하기입니다.

아까 정의한 u_m과 v_n을 그냥 점이 아닌 벡터로 해석하는 것입니다.

그렇다면 아까 정의한 준식을 벡터의 합으로 해석할 수 있게 됩니다.

즉, 벡터 u₁과 벡터 v₁을 복소평면상에 나타내면 다음과 같습니다. 

그리고 이때 벡터와 합연산을 하여준 벡터를 w라 하겠습니다.

이제 감이 잡히시나요? 이제 문제는 w=2 or -2로 나타낼 수 있습니다.

그리고 이때 u_m, v_n은 다음과 같이 자연수 k,p의 값에 따라 결정됩니다.

이때 각 벡터의 크기는 1이므로 2 혹은 –2가 나오기 위해선 복소평면상에서의 편각이 같아야합니다.

하지만 이때 편각이 같고 허수부가 0이 되어 2 혹은 –2가 가능한 경우는 다음 두 경우만이 유일합니다.

1번 케이스부터 살펴보면 

m=8k-4, n=4p-2(k,p는 자연수)이며 m,n은 49 이하이므로 m=46, n=48입니다.

따라서 Max₁(m+n)=94

2번 케이스의 경우

같은 방법으로  m=8k-4, n=4p이며 m=44, n=48

따라서 Max₂(m+n)=92

1번과 2번에 의해 Max(m+n)=94 입니다.

오늘은 오래만에 고1 학생 과외를 하다가 재미있게 풀 수 잇을 것 같아 

복소평면과 평면벡터를 섞어 문제풀이를 진행해보았습니다.

설명하느라 그림을 많이 그렸지만 실제론 암산으로도 풀 수 있을 정도로 유용하게 사용하였습니다.

이는 제곱 횟수가 다른 복소수의 연산에서 유용하게 활용될 수 있습니다;)

긴 글 읽어주셔서 감사하고 다들 6월 모의고사 잘치시길 바라겠습니다!    

감사합니다.