실수 선분 문제
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우선 0과 1사이의 실수갯수와 0과 2사이의 실수갯수가 같다고 한다.
선분을 이루는 점이 실수에 대응된다고 하면,
0과 1사이 중심에 점하나를 찍으면 점간의 거리는 1/2이 된다
0과 1사이에 점 두개를 찍으면 점간의 거리는 1/3이 된다
그리고 0과 1사이에는 무한히 많은 점이 있으므로 점간의 거리는 1/무한 이 된다
이것을 극한으로 표현하면 x->inf, 1/x 가 된다
(점의 갯수)*(점간의 거리)=선분의 길이가 된다
그런데 위에서 0과1사이, 0과2사이 실수(점)갯수가 동일하다고 했다
그렇다면?
점 갯수를 x라고 한다면,
x*(2/x)=2
x*(1/x)=1
즉, 0과1사이, 0과2사이 점갯수가 같다면
선분의 길이차이가 두배일때,
점간의 거리는 2배차이가 된다..
즉, 0과1 사이의 실수의 간격은 0과 2사이의 실수 간격의 1/2배가 된다..
이게 말이되는가??
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진짜루요
일단 무한대의 관점에서 '점 간의 거리'가 정의되기 어렵습니다. 임의의 두 점 사이에는 다른 실수가 존재하기 때문에 거리 자체가 0이 되어 저 인공지능이 말하는 '농도'의 관점으로 접근해야합니다. 질문의 요지는 이해가 되지만 결국 유한한 관점에서의 해석이 아닌가 싶습니다.
실수(점) 간의 거리가 0이되면 모든 점이 하나가 되어버리지 않나요? 그럼 선분자체가 사라지는데
예시를 드신 바와 같이 양 끝 사이에 점이 x-1개 존재한다고 하면 점 사이의 거리가 1/x이 되지만 무한대로 보냈을 때 1/x가 0이 되는 것을 알고 계신 것으로 보입니다. 거리의 개념 자체가 무의미해지는 것으로 이해하면 될 것 같습니다. (0,1)에서 유리수와 실수가 모두 무한히 있지만 농도는 다른 것처럼, 농도를 해석할 때 결국 유한한 개념인 거리를 반영하기는 어렵다고 생각됩니다. 오랜만에 생각하니 어렵네요
0은 극한값 즉, 수렴값아닌가요??
농도라는게 거리안에 점이 몇개있냐 이런건 될수없나요?
네 0은 수렴값입니다. 설명을 위해 거리가 0이라 했는데 오히려 혼란스러웠다면 죄송합니다. 점의 개수는 결국 '셀 수 있는' 것이기 때문에 집합론의 관점에서 '셀 수 있는 무한대'는 같은 것으로 정의합니다. 즉 점이 몇개있느냐로는 해석하기 곤란합니다. 일반적인 상식으로 접근하기 어렵기 때문에 당시 칸토어도 욕 많이 먹은 것으로 알고 있습니다.
0과1사이와 0과 2사이의 농도가 같다면 실수(점)의 갯수가 두배여야 농도가 같아지는거 아닌가요? 1리터 물에 탄 소금과 2리터 물에탄 소금의 농도가 같다면 2리터물에탄 소금이 두배되는거 아닌가요?