5모 미적 29 근사풀이
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AB=√3 BC=2이고 각 CBA=π/2인 직각삼각형 ABC와 선분 BC를 이름으로 하는 반원이 있다. 호 BC 위의 점 P에 대하여
각 BAP=x일 때, 삼각형 ABP의 넓이를 f(x)라 하자. 20f'(π/6)의 값을 구하시오.
x=π/6일때의 P를 R이라하자. AR은 반원 위의 점을 지난다 따라서 R에서 반원이 접하는 직선L을 그으면 L은 AR과 수직이다.
x=π/6 + dx 일때 직선 AP와 직선 L의 교점을 Q라할때 L은 반원이 접하기에 PQ의 길이는 (dx)2 ~~꼴로 나오게 되기에 무시해도 상관없다. 즉 선분AP와 AQ의 길이를 같다고 봐도 무방하다.
편의를 위해 몇개의 보조선을 그어 보자.
f(π/6)는 삼각형 ABR, f(π/6 + dx)는 삼각형 ABQ이다
ABR에 ARQ를 더하고 BRQ를 빼면 ABQ가 된다
따라서 f(π/6 + dx)-f(π/6)=df=ARQ-BRQ
각 ARQ는 위에서 구한대로 수직이고 각 QAR은 dx이니 QR은 3tan(dx), AQR의 넓이는 9tan(dx)/2
각 AOB는 π/3, OB는 1이기에 QR을 밑면으로 하면 BQR의 높이는 3/2가 된다.
그러므로 BQR의 넓이는 9tan(dx)/4
종합하면 df= 9tan(dx)/2 - 9tan(dx)/4 = 9tan(dx)/4
df/dx= 9tan(dx)/4dx = 9/4
따라서 45가 된다.
(+5모 수학 풀이시간 47분)
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