독서실의 유령 · 1130726 · 05/10 00:42 · MS 2022 (수정됨)

h(x)의 x=a에서 미분가능성, g(x) 불연속점에서의 미분가능성

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qw12 · 854584 · 05/10 01:49 · MS 2018

다들 풀이 감사합니다
지금 막 강기원쌤 겨울 vod 듣기 시작한 낮은 1등급 따리라 풀이를 봐도 g(x) 함수에 대한 이해가 많이 부족한 것 같네요
우선 vod 다 들으면서 이 주제에 대한 기초 학습부터 하고 오겠습니다...

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株式會社宇進産電 · 1355792 · 05/10 00:44 · MS 2024

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qw12 · 854584 · 05/10 01:49 · MS 2018

다들 풀이 감사합니다
지금 막 강기원쌤 겨울 vod 듣기 시작한 낮은 1등급 따리라 풀이를 봐도 g(x) 함수에 대한 이해가 많이 부족한 것 같네요
우선 vod 다 들으면서 이 주제에 대한 기초 학습부터 하고 오겠습니다...

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qbodpbo · 1227343 · 05/10 01:12 · MS 2023

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qw12 · 854584 · 05/10 01:49 · MS 2018

다들 풀이 감사합니다
지금 막 강기원쌤 겨울 vod 듣기 시작한 낮은 1등급 따리라 풀이를 봐도 g(x) 함수에 대한 이해가 많이 부족한 것 같네요
우선 vod 다 들으면서 이 주제에 대한 기초 학습부터 하고 오겠습니다...

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qbodpbo · 1227343 · 05/10 01:58 · MS 2023

식으로 접근: f(g(t))=t에서 역함수꼴 발견
or g(x) 미분계수가 해당지점 f(x)의 미분계수 역수인 것 정도만 알아도 충분합니다.

어려운 부분은
g'(t)가 0일 수 없다는 점과, f'(x)=0인 지점에서 g'(x)가 발산한다는 점이 변별 포인트입니다.

단순 g(x)해석이 안되시는 거면 250628이랑 f와 g의 정의가 비슷하니 한 번 풀어 보시면 좋을 것 같습니다

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qw12 · 854584 · 05/10 02:31 · MS 2018

아 역함수로 보니까 g'(t)가 0일 수 없다는 것도, f'(x)=0인 지점에서 g'(x)가 발산한다는 것도 직관적으로 이해되는 것 같습니다!

그럼 f(x) 개형에 따르면 g(x)가 불연속인 곳은 f(x)가 극대인 곳 말고는 존재할 수 없고,
---> 그렇기 때문에 h(x)의 유일한 불연속 점인 x=a가 곧 f(x)의 극댓값이 되는 것인가요?
h(x)의 불연속 점이 "오직 x=a 하나뿐" 이라는 조건이 없는데 f(x)의 극댓값은 a인지 뭔지 알 수 없게 되는 것이 맞나요???

그리고 g'(a-) -> 무한대 이므로 a=0 에서 g'(a-) -> 무한대 인 것은 역함수를 통해 이해했는데, 거기서 a=0이라는 결론이 나오는 것은 두번째줄 좌,우미분계수가 서로 같다는 식에서 "ag'(a-)" 라는 항이 어떤 값으로 반드시 수렴을 해야만 하기 때문에, 무한대 * 0 이어야 하기 때문인가요??

그리고 a=0 이기 때문에 첫번째 줄의 등식에 의해 우변의 g(a+) = 0 이 되고 이를 f(x)의 그림 위에서 관찰해보면 극대 살짝 위의 y=t 와의 교점의 최솟값이기 때문에 저 위치가 x=0으로 확정되는 것이고,
아직 g(a-) 즉, f(x)의 극대의 x좌표는 아직 모르기에 k라 두고 두번째줄 식에 아는 것을 전부 대입하면 k + 0 = 0 - g'(a+) 이므로 k = - g'(a+)가 되고 g'(a+)는 그림으로 관찰하면 f(x)의 x=0에서의 접선을 역함수 취한 직선의 기울기이므로 1/k^2 ---> 따라서 방정식 풀면 k = -1

제가 이해한 것이 맞을까요???
너무 길어서 죄송합니다 ㅠㅠ

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qbodpbo · 1227343 · 05/10 02:50 · MS 2023

1. f극대 -> g불연속 이므로 g불연속점은 1개인 것은 맞습니다.

하지만 h(x)는 미분가능합니다.
h(x)의 유일한 불연속점 ... h(x)가 미분불가능할 가능성이 있는 유일한 점이라고 이해하면,
h(x)는 불연속함수(일 수 있는) g(x)로 정의되기 때문에 x=a가 유일한 점은 아닙니다.

풀이는 g(x)가 x=a라고 가정한 귀류법을 이용한 갓입니다.
좀 더 논리적인 풀이로는 g(x)가 실수 전체 미분가능일 리는 없을 것이라 추론했고, g(x)의 미불점을 상쇄시킬 수 있는 곳은 x=a뿐이라고 추론도 가능합니다. 참고로 g(x)가 실전미가라고 가정하면 앞서 풀은 x=a에서 g'(a)=0이라는 같은 결론이 나오긴 합니다

2,3질문은 정확합니다. 제가 풀이에 계산셍략을 많이 하는 편이라서 최대한 적는다고 적었는데 지금 보니 논리성이 떨어지게 적었네요

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qw12 · 854584 · 05/10 03:22 · MS 2018 (수정됨)

아 제가 오타를 냈네요 죄송합니다... g(x)의 불연속점이 x=a인 것을 구한 시점에서 h(x)의 불연속점이 x=a밖에 없는 것으로 이해하고
6번째 줄에 "이라는 조건이 없으면" 이라고 써야할 것을 "이라는 조건이 없는데" 라고 아예 다른 의미로 해석되게 써버렸네요

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