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강윤구T [266289] · MS 2008 (수정됨) · 쪽지

2025-05-09 10:27:33
조회수 541

[수학강사 강윤구] 미적분을 어려워하는 이유(feat. 181130, 5모 29번)

게시글 주소: https://orbi.kr/00073083061

요즘 많은 학생들이 미적분이 어렵다, 가성비가 안 나온다 이야기를 많이 합니다.



''확통 기하는 쉽다, 미적분은 어렵다.''


왜 이런 상반된 반응이 나올까요?


그 원인에 대해 합리적이고 객관적으로 고민해보셨나요?


아마 대부분의 학생은 미적분이 식이 많고, 계산이 많고 어쩌고 말씀을 하실텐데요


미적분이라고 특별이 계산이 많은 문제는 없습니다.


무슨 문제인지 파악하지 못하여 이것저것 의미없는 계산만 반복한 후,


문제를 틀린 다음에 계산이 복잡하다 말하는 것은 잘못된 피드백이겠죠.



여러분이 미적분을 어려워 하는 것은 '문제 인식의 실패' 때문입니다.


많은 학생들이 어려워하는 181130을 예로 들어보죠.




이 문제를 보고 어떤 생각이 드시나요?


그냥 복잡하다. 이정도의 생각이라면 문제인식을 위한 공부를 하나도 하지 않으신 상태일 것입니다.


제대로 공부한 사람이라면, 


이정도의 학습을 기반으로


새로운 함수의 문제고 그 중 고정관찰하여 새로운 함수의 경향성 변화지점,


g(x)의 극소를 파악하는 문제라는 것을 금방 알 수 있습니다.


또한, 극한, 적분 등으로 정의된 새로운 함수를 파악하는 경우에는 식 처리가 핵심이므로


바로 그래프를 그려서 파악하기보다는, 


주어진 식을 정리하여 g(t) 식을 바꾸는 것이 핵심이 되는 것을 '보자마자' 알 수 있습니다.


일반적인 수험생은 함수문제면 그래프 그리는 것이 전부라고 착각합니다.


이는 대단히 잘못된 생각입니다. 


이 문제 역시 식처리 안하고 그냥 그리거나, 있는 그대로 산수하면 굉장히 복잡해집니다.


다음을 꼭 명심하세요.



1) 함수로 그래프만 배우지 않는다. 당연히 식 처리도 중요하다.


2) 그래프를 그리기 위해서는 주인공함수를 정하는 과정이 동반되며 이는 식 정리를 통해 파악된다.

   

   그냥 그리는 문제는 고난도 문제가 아니다. 식 정리로 주인공을 정하는 문제가 고난도 문제고

  

   이는 수능 수학의 전형적인 출제 패턴이다. 



이정도는 아셔야 합니다. 이런 것을 모른다면 '문제인식하는 법'을 배우셔야 합니다.


어쨋든 위의 생각을 반영하여 풀이를 옮기면 되겠죠.



그러면 깔끔하게 내가 해야할 것을 적을 수 있고 그 절차대로 문제 풀이 진행하면 됩니다.


g(t)의 적분 연산 중 할 수 있는 것은 부분적분밖에 없기 때문에


부분적분을 선택하는 것은 그렇게 어렵지 않습니다.


부분적분하니 k가 자연수여서 대입하면 0이 되는 것이 생기고


f'(x)=0, 1, -1인 아주 간단한 함수가 되었습니다.


그러면 g(t)를 파악하기 위해 새로운 함수의 정의역 t를 고정하고 g(t) 관찰하면 됩니다.



그러면 g(t)의 경향성을 파악할 수 있고


암산으로 극대극소를 구할 수 있습니다. (sin, cos 볼록한 모양의 적분 정도는 암기하는 것이 기본)


정답이 금방 나오겠죠. 특별한 계산? 없습니다. 복잡함도 없지요.


문제인식이 잘 이루어지면, 미적도 간단히 해결할 수 있다는 것입니다.




5월 모의고사 29번도 볼까요?




이 문제는 '보자마자' 미분법 문제임을 알 수 있습니다.


문제의 '목적'이 '일반함수의 미분계수 구하기'이기 때문입니다.


그리고 미분법 문제를 해결할 때는 다음을 생각하는 것이 기본입니다.


그리고 보통 난이도가 있는 문제는 새로운 변수를 도입하는 것이 일반적이지요.


그리고 이때 두 개의 식을 생성하는 것이 논리적으로 당연합니다.


1) 기존의 변수와 새로운 변수와의 관계


2) 새로운 변수와 내가 구하고자 하는 함수와의 관계


그래야 t와 f(t)가 연결될 수 있겠지요.


그러면 29번도 해야하는 작업은 뻔합니다.


1) 적절한 변수를 설정한다.


2) 기존변수 세타와의 식을 만든다.


3) 새로운 변수로 넓이를 표현한다.


즉, 해야 하는 것을 바로 인식한다면 어떤 식을 만들어야 할지,


내가 그 식에서 무엇을 해야 할 지 알고 시작하기 때문에 문제가 쉽게 느껴질 수밖에 없습니다.



그리고 그때 사용하는 방식도 미적분 상당히 유형화가 되어 있습니다.


미적은 공통과 다르게 보조선이 중요합니다.


미적의 주요 보조선


1) 뚱뾰 (원과 꼭짓점)


2) 전체와 부분의 관계식으로 길이구하기


두개입니다. 29번은 1)의 방식으로 보조선을 긋는 것이 좋겠죠


이미 기출로도 보여준 문제입니다.


그러면 이를 반영하여 할 것을 적고 풀면 됩니다.



생각이 정리되니, 해야할 것이 보이고 해야할 것이 보이면 복잡하지 않습니다.



하지만 우리 친구들은?


문제 인식 그 이후 과정에만 집중해서 공부합니다.


정작 시험보면 문제 인식을 못해서 10분 20분을 허비하면서


문제 인식 이후 과정의 그 간단한 계산만 줄이려고 하루에 7~8시간씩 공부합니다.



정작 내가 못하는 것은 공부하지 않고


별로 중요하지도 않은 계산 줄이기만 공부하는데 수학 점수가 오를까요?


당연히 아니죠.




본인이 전국 2000등 아래의 등수라면,


문제 인식이 문제인 것이고


그 문제 인식만 개선하면 현재 수능 수학은 계산이 복잡하지 않기 때문에


시험시간은 남아 돌게 되어 있습니다.



문제 인식 이후의 복잡도가 높고, 그 복잡도 해결을 위해 여러 지식이 필요한 것은


과탐입니다. 그런데 수학을 과탐처럼 공부하는 사람이 너무나도 많지요.



문제 인식을 위한 공부를 하시는 것이 맞습니다.


그리고 문제인식을 위한 공부는 혼자하는 것이 불가능하기 때문에


4점공략법을 들으시는 것이 좋겠지요.




기출을 하냐, N제를 하냐, 모의고사를 푸냐는 


전혀 중요한 것이 아닙니다.


어려분은 저걸 정하는 것이 공부라고 생각하지만, 저것은 수단이죠.


수단만 보는 낮은 시선으로는 성적향상을 이뤄내기에는 어렵습니다.


목적과 수단을 혼동하지 마세요.




제대로 공부한다면 오히려 미적이 쉽게 느껴질 수도 있습니다.


과목을 바꿀 생각보다는 나의 공부를 점검하는 것이 성장하는 수험생의 태도겠지요.



이런 높은 시선의 공부, 제대로 된 시험 준비를 함께하고 싶은 분들은


제 수업을 함께 하셔도 좋을 것 같습니다.



1. 현장 강의 



2. 인강


5월에 '4점공략법 패키지'를 출시합니다.


4점공략법, 필수유형공략법, 노하우(킬러N제)


3개를 수능까지 수강할 수 있는 상품입니다.


상위권 학생 중 이투스 구독권을 끊기 애매한 학생들을 위해,


반수하는 학생들을 위한 패키지 상품입니다.


4공, 필유공, 노하우면 여러분이 원하는 결과 충분히 만들 수 있을 것입니다.





2~3등급 이상의 학생들,


다시 한번 강조하지만 아무것도 모르면서 문제만 풀면 언젠가 성적이 오를 것이라는 막연한 착각


실전개념으로 계산 빨리하면 시관관리가 될 것이라는 착각,


많이 하면 노력한 것이라는 착각,


그 착각에서 벗어나세요.


물론 저렇게 중구난방으로 공부해도 되는 사람이 있습니다.


그런 사람은 재능빨이지 공부빨이 아닙니다.



체곅적이고 합리적으로 공부하는 것이 나쁜게 아닙니다.


1) 문제 인식의 기준을 배운다.


2) 그 기준에 맞는 알고리즘을 구축한다.


3) 1과 2를 기반으로 연습을 한다.


가 순서라는 점을 꼭 기억하시기 바랍니다.




그리고 위의 적은 내용은 Core Theme입니다. 


4공법의 위력은 Core Theme에도 있지만


그 어떤 문제가 나와도 대응할 수 있는 일반적인 생각의 체계화에 있습니다.


이는 나중에 글을 적어보도록 하겠습니다.



아직 수능까지 많이 남았습니다. 


막연하게보다는 확실하게, 무지성보다는 이성과 합리성으로 공부하는


멋진 수험생활을 보내시기 바랍니다. 파이팅하세요~

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강윤구T [266289]

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