[칼럼] 『영역전개』 "벡터해석"

기하의 주요한 세 파트는

이차곡선, 공간도형, 벡터입니다

이 중 이차곡선은 지금까지 해온 평면 기하의 연장선이니 수험생들이 상당히 빠르게 익숙해지며

공간도형의 경우에도 사교육 걱정으로부터 수험생들을 해방하려는 고결한 노력 끝에

평면의 방정식 등이 대거 약화되고, 평가원도 문제를 좀 쉬엄쉬엄 내주는 덕에

숨 쉴 구멍이 많이 생겼습니다

하지만 벡터의 경우는 이야기가 좀 다른데

지금까지 수학에서 접했던 존재들과는 결이 다릅니다

길이, 넓이, 부피, 속력

초등학교 때부터 우리는 무슨 길이를 구하라느니, 움직이는 동안 걸린 시간이 얼마라느니

소금물에 물을 탔다가 소금을 탔다가 소금물끼리 섞었다가

이러한 스칼라 값을 수학적으로 다루는 것에 집중해왔습니다

하지만 벡터는 단순히 크기만 가지는 것이 아니라 '방향'이라는 요소가 도입된

지금까지 우리가 해온 수학과는 범주 자체가 다른 존재라고 할 수 있습니다

그렇기에 낯설죠

이렇게 근본적으로 다른 존재이기 때문에

벡터끼리 더하고 빼는 기초 연산부터 다시 정의됩니다

게다가 사교육 걱정이 사라진 덕분에 벡터가 평면이라는 족쇄를 차게 되면서

어떻게든 생소하고 낯선 상황을 제시하려는 평가원의 몸비틀기가 더 심해지고 있습니다

따라서 축이 하나 줄어든 벌로 수험생들은 벡터 자체를 해석하는 능력을 더욱 정교화할 것을 요구받고 있는데

이는

0. 벡터의 연산 자체의 성질을 활용

1. 벡터를 점으로 보는 관점

2. 벡터를 선분으로 보는 관점

3. 벡터를 영역으로 보는 관점

에 대해서 0을 확실하게 숙지하고 1, 2, 3 간의 관점 전환을 자유롭게 할 수 있어야 함을 의미합니다

그 중에서 이번에는 '3'에 집중해서 문제를 관찰해보겠습니다

24년 6월 30번으로 대놓고 X가 나타내는 영역의 넓이를 구하는 문제죠

따라서 수험생들이 3번의 관점으로 접근했다면 문제를 쉽게 맞출 수 있었습니다

EBS에서도 '영역으로 푸세요 ㅎㅎ라'고 해설하고 있죠

하지만 여기서도 1의 관점이 조금 필요한데

직선 위의 점 P와 타원 위의 점 Q 중 하나는 점으로 보고 다른 하나를 영역으로 간주하여

점으로 보는 벡터에 대해서 영역을 옮겨야 X의 영역이 제대로 나타나기 때문입니다

P를 점으로 보고자 한다면 타원의 중심이 직선 위를 움직이는 영역으로 나타날 것이고

Q를 점으로 보고자 한다면 직선이 타원 위를 빙글빙글 돌아가는 영역으로 나타날 것이기 때문입니다

메가 기준 정답률 8%로 바닥을 긴 23년 6월 30번

(가)와 (나)가 모두 CX와 관련된 식인데 도무지 두 식을 어떻게 연관지어야 할지

또 그 이후에는 CX를 어떻게 처리할지가 난관이었다고 생각됩니다

전자의 경우는 0 즉 벡터의 연산과 성질 자체에 대해 익숙치 않아서 생긴 문제라면

후자의 경우는 (가)와 (나)를 통해 얻은 벡터의 해석이 미숙해서 생긴 문제라 할 수 있습니다

이 역시 영역의 관점을 도입하면 해결됩니다

먼저 (가)와 (나)를 해석하면

이렇게 정리할 수 있는데 CX에 대한 조건이 두 개나 걸려있습니다

과연 저 두 조건을 어떻게 해석해야 하나... 여기에서 1의 관점을 한번 사용해봅시다

일단 (가)의 조건이 모호하니, 좀 더 구체적인 (나)를 정리한 조건을 이용하면

제시된 세 벡터의 시점이 모두 C니까 C를 원점으로 하고 CD를 x축으로 하는 평면을 도입해보면

CX는 C를 원점으로 할 때, y좌표가 sqrt(3)인 점이 (나) 조건의 의미라 할 수 있겠네요

그렇다면 이제 (가)로 돌아가서

P가 정육각형 위의 점이고, Q가 원 위의 점인데, 제시된 벡터 모두 시점이 C로 동일한데

기시감이 느껴지지 않으시나요?

얘랑

얘는

시점의 알파벳만 다르고 상황이 똑같지 않습니까?

아까 문제를 해석할 때

한 벡터를 점으로 보고, 다른 벡터를 영역으로 보면

후자의 영역이 전자의 도형을 움직이는 영역으로 표시됐던 것 기억하시죠?

따라서

이를 시각적으로 나타내면

다음과 같은 회색 영역이 X로 가능한 영역임을 알 수 있습니다

그런데 아까 X는 y좌표가 sqrt(3)인 점이라고 했죠?

그러므로 CX가 최소일 때는 X_1, 최대일 때는 X_2가 되어야 함을 알 수 있습니다

그렇다면 X가 X_1일 때 2-k=0이고, X_2일 때는 2-k=4이므로 alpha=2, beta=-2입니다

비슷한 관점에서 이 문제 역시 영역을 도입한다면

시각적으로 언제가 최소가 되고 언제 최대가 되는지 확실하게 알 수 있습니다

결론)

료이키

텐카이