곱함수 미가성
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예를 들어 f × g 라는 함수가 실수 전체에서 미분가능하고 f가 x=a에서 미분불가능하면 g도 무조건 x=a에서 미분불가능인가요? 합차함수에서는 위의 논리 많이 쓰는데 곱함수는 조금 다르지 않나요?
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0으로 가거나 미분 불가능
일단 어떠한 경우에 대해서든 미분가능한 g(x)가 존재합니다. 미분불가능의 원인에 따라서 다른데 쉽게 생각하면 먼저 f×g가 미분가능하다고 가정하고(g는 미가함수)
f'(x)g(x) + f(x)g'(x)라 두고
만약 f가 x=a에서 불연속이라면 위의 식에서 g'(a)=0이 되어야 하고
f가 x->a에서 좌미계수와 우미계수가 다르거나 발산한다면 g(a)=0이여야 합니다.
물론 x=a에서 미분불가능한 g(x)도 존재합니다. 대표적으로 g(x)=f(2a-x)가 있죠