기하허수가써보는합벡터(일차결합)다루는간단팁

본 칼럼은 물개물개님의 칼럼 대회에 제출한 칼럼의 수정본입니다.

급하게 썼던지라 수정할 게 너무 많아서 사실상 새로 써서 늦었습니다...

기하 문제를 풀다 보면 벡터의 합을 다룰 때가 많습니다.

작년 9월 모의평가 기하 30번을 비롯하여 합벡터의 최대/최소를 묻는 문항이 많이 출제되었고,

작년 수능 기하 30번처럼 문제의 조건에 벡터의 일차결합으로 특정 점(위에선 Q)의 자취를 제공하기도 합니다.

이런 기하 문제들의 해설을 보면

(2025학년도 9월 모의평가 기하 30번 EBS 해설 중)

위와 같이 갑자기 새로운 점을 잡아 벡터식을 변형하는 경우가 있습니다.

물론 기하공부를 많이 하신 분들은 경험적으로 어떤 점을 새로 잡아야 할 지 알고 계시겠지만

조금 더 생각을 덜 할 수 있는 방법에 대하여 써 보려 합니다.

방법은 간단합니다.

결론을 먼저 벡터식으로 질러 놓은 후, 계산을 통해 점의 위치나 자취를 찾는 것입니다.

최대/최소 문제와 확대/축소를 나누어서 보겠습니다.

1. 합벡터의 최대/최소 문제

위의 2025학년도 9월 모의평가 기하 30번을 예시로 한번 보겠습니다.

의 최댓값과 최솟값을 구해야 하는 상황입니다.

즉. 의 최대/최소를 구하면 됩니다.

일단은 이를 선분의 길이의 최대/최소를 구하는 문제로 전환하기 위해

를 한 벡터로 만듭니다.

식에서 보이는 네 점 중에서 한 점만 계수까지 유지하여 고정하고, 일단 결과를 쓴다고 생각합니다.

점 P가 시점에 있었으니 그것만 고정하여 점 P가 시점에 있도록

과 같이 일단 식을 지릅니다.

이때 점 R의 위치를 먼저 알 필요가 없습니다.

를 계산하면 점 P의 계수를 맞추어 놓았으므로 과 같이 점 R의 위치가 그냥 구해집니다.

점 Q가 세 점 C(7, 1), D(7, 0), B(8, 0)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 위를 움직였으니

점 R은 세 점 (3, 3), (3, 2), (4, 2)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 위를 움직입니다.

그 후는 위와 같이 최대/최소를 구하면 됩니다.

위에서 점 P가 아닌 점 Q를 고정하면

가 됩니다.

이때 점 S는 아래의 EBS 해설의 점 P'이 됩니다.

해설처럼 먼저 새로운 점의 자취를 구할 필요 없이 일단 벡터식을 질러 놓고 나중에 그 점의 자취를 고민하면 됩니다.

네 점 중 하나를 고정한다고 했는데, 동점을 고정할 때와 정점을 고정할 때의 양상이 조금 다릅니다.

위에서 이번엔 점 O를 고정하여 라 지르면

, 즉 가 됩니다.

각각의 점 Q에서 만큼 평행이동한 점 T의 자취(영역)를 구하고,

정점 O와 영역 위의 점 T 사이의 거리의 최대/최소를 구하게 되는 상황입니다.

이렇게 정점을 고정하면 자취끼리 합하게 되는 상황이 발생하므로,

세 벡터 이상의 합벡터를 다룬다거나 하는 경우를 제외하면 보통은 동점을 고정하여 두 동점 사이의 거리를 구하는 것이 편합니다.

2. 확대/축소

일단 정점 O와 도형  위를 움직이는 점 P에 대하여

를 만족시키는 점 Q가 나타내는 도형은 그림과 같이 도형 를 점 O를 중심으로 k배 확대한 도형입니다.

위에서 닮음의 중심을 찾는 방법에 대해 알아보겠습니다.

작년 수능 기하 30번입니다.

를 풀면 점 X가 나타내는 도형 는 선분 BC를 지름으로 하는 원임을 알 수 있습니다.

에서 점 Q의 자취를 구해봅시다.

(2025학년도 수능 기하 30번 EBS 해설 중)

EBS 해설을 보면 원점을 시점으로 하는 위치벡터로 만들어 계산한 후,

축소한 도형을 평행이동한 것으로 설명하고 있습니다.

EBS와 다르게 바로 닮음의 중심을 찾아봅시다.

일단 에서 두 점 P, Q가 포함된 벡터의 계수를 보면 닮음비는 바로 알 수 있습니다.

모든 벡터를 원점(이때 원점의 위치는 어디든 상관없습니다.)을 시점으로 하는 위치벡터로 만든다고 생각하면, 

좌변에서 의 계수는 -4, 의 계수는 4

우변에서 의 계수는 -3이 될 것입니다.

좌변의 를 우변으로 넘긴다고 생각하면 가 될 것이고,

뒤쪽은 어차피 정점으로만 이루어져 있을 것이니

일단 닮음의 중심은 정확하게 몰라도 점 Q가 나타내는 도형은 점 P가 나타내는 도형을

1/4배로 축소한 도형임은 알 수 있습니다.

닮음의 중심을 E라 하면 점 Q가 점 P가 나타내는 도형을 1/4배로 축소한 도형이므로 일단

와 같이 식을 지릅니다. 이때 점 E의 위치를 먼저 알 필요는 없습니다.

그 후 두 식 , 에서 양변을 빼 주어 계산하면

P, Q는 계수를 맞추어 놓았기 때문에 계산 과정 중에 사라지고, 을 얻습니다.

즉, 점 E는 점 BD를 2:1로 내분하는 점입니다.

그림과 같이 점 B를 원점으로 하여 좌표를 잡아봅시다.

점 P가 나타내는 원 의 중심을 M(2, 0)이라 하고, 점 Q가 나타내는 원의 중심을 N이라 하면

점 Q가 나타내는 도형은 원 를 점 E를 중심으로 1/4배로 축소한 도형이므로

점 E에서 원의 중심까지의 거리도 1/4배입니다.

따라서 점 N은 선분 EM을 1:3으로 내분하는 점이므로 좌표를 구할 수 있습니다.

즉 점 Q가 나타내는 도형은 점 N(5/2, 2)를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 1/2인 원입니다.

결론

내용을 보셨다면 아시겠지만 꼭 위와 같이 최대/최소, 확대/축소 상황이 아니더라도

합벡터를 다룰 때 새로운 점의 위치나 의미를 생각한 후 벡터식을 변형할 필요가 없이

먼저 결과로 나오는 식을 지른 후 계산을 통해 새로운 점의 위치를 찾을 수 있습니다.

벡터가 도형을 계산으로 다룰 때 매우 유용한 도구임을 느끼실 수 있으면 좋겠습니다.

끝