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mathformedical [1379993] · MS 2025 · 쪽지

2025-04-21 14:38:53
조회수 2,754

검은소도병신 누런소도병신(250630)

게시글 주소: https://orbi.kr/00072899454

*본 칼럼은 물개물개님의 칼럼대회에 제출되었습니다.

이 문제는 되게 특징적인 문제다


하나는 수열 an에 대한 대부분의 판단의 근거를 과거 기출에서 줬다는 점이고

또 다른 하나는 시중에 풀린 풀이가 크게 두 갈래인데 둘의 관계가 좀 엄대엄이다.



일단 문제를 풀기 전에 과거 기출의 경험을 통해 an에 대해 뽑아내면 다음 정도를 뽑아낼 수 있다.


미적분 30번이기 때문에 어차피 기출 학습이 끝난 학생만 도전할거라고 출제자가 상정을 했기 때문에 여기까지는 2분이내에 정리가 가능하다.



그 이후에 시중에 메이저하게 퍼진 풀이는 덧셈정리다 그걸 굳이 하지는 않겠다. 그게 검은소다.


일단 그 전에 평가원 30번에 나온 문제이기 때문에 극한이 발산할리는 없다. 따라서 이정도는 무리가 없다.

위의 주어진 극한은 부정형 극한이다. an이 양의 무한대로 발산, tan(~~)가 0으로 수렴해서 극한의 양상이 저리된 것이다. 이는 a_n+1-a_n이 파이로 수렴하기 때문이다.


그런데 우리가 이런 삼각함수 극한에서 각이 0이 아닌 형태로 갈때


언제부터 덧셈정리로 식을 찢었지? 


라는 물음을 가져보자.


저런 류의 문제를 100문제 풀었으면, 1문제 이하의 빈도가 아닐까?


그런데 왜 갑자기 저 문제를 덧셈정리로 풀고 싶어하는지


그리고 그 대가로 계산을 해야하는지 한번 의심해본적이 없나?


그래서 사실 이 문제는 다음과 같이 보는 것이 순리라 생각한다.


그러면 a_n+1-(pi+a_n)을 theta라 하면, 다음의 정리가 가능하다.


an은 그래프의 교점이기 때문에, (a_n+1-(pi+a_n))이 x의 변화량으로 읽히면

이 문제는 다 풀었다.


그러면 다음의 평가원 기출이 자동적으로 떠올라야 한다.


그럼 이정도의 풀이가 가능하다.


탄젠트함수는 도함수가 매우 특수해서 다음이 성립함을 알 수 있다.

따라서 다음의 부등식을 얻는다.

이제 여기서 너무 오버를 하면 근사로 폭주하는 경우가 있는데

이게 누런소다. 그건 너무 근들갑이다.


그저 그냥 원하는 꼴로 변형만 하자.


식이 ㅈㄴ 복잡해서 ㅈ된거 같지만 전혀 아니다.

이므로 부등식의 양변은 n이 무한대로 가면, 1/50로 수렴한다.

따라서 수렴하는 극한의 대소관계에 의해 다음을 얻는다.



자, 그럼 답은 25다.


이쯤됐으면 30년 넘는 수능에서 아직 안깨진 교훈을 하나 갖고가자.


이해 안되면 외워라


수능, 평가원에 나오는 극한은 식이 복잡한거지 계산이 복잡한게 아니다.


계산이 복잡하면 그건 니가 잘못 푼거다.


사족을 달자면 현장에서 덧셈정리로 풀어서 100점 받은 사람을 비난하는 것은 아니다.


근데 이 문제 공개된지 10달이 넘었는데 여태까지 덧셈정리로 풀리면 그건 교재나 강의가 나쁜놈이다.

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mathformedical [1379993]

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